¿Cómo puedo ver que $\mathbb{RP}^4$ $\mathbb{RP}^6$ no admiten los campos de la tangente $2$-aviones?

Question

Un colector $M$ se dice que admite un campo de la tangente $k$-aviones, si su tangente paquete admite un subbundle de dimensión $k$. ¿Cómo puedo ver que $\mathbb{RP}^4$ $\mathbb{RP}^6$ no admiten los campos de la tangente $2$-aviones?

Answer 1

No tiene subbundles a todos. Si lo hiciera, tirando hacia atrás a lo largo de la proyección del mapa de $p: S^{2n} \to \Bbb{RP}^{2n}$ te llevaría un trivial subbundle de $TS^{2n}$, lo que llevaría a una división de $\xi \oplus \eta = TS^{2n}$. Ahora, tenga en cuenta que debido a $H^1(S^{2n}) = 0$, y que, por ende, $w_1(\xi) = 0$ $\xi$ es orientable (y lo mismo para $\eta$). Ahora mirando Euler clases, $$0=e(\xi)e(\eta) = e(\xi \oplus \eta) = e(TS^{2n})=2.$$ The first equality is because the cohomology of $S^{2n}$ is zero in degrees less than $2n$.