Cómo encontrar la función de $f$$f(f(x)) = xf(x)$?

Question

Me preguntaba si existe una función continua tal que $f(f(x)) = xf(x)$ para cada número positivo $x$.

Answer 1

Seguro. $$ f(x) = x^{\frac{1 + \sqrt 5}{2}} $$

Answer 2

Esto aún no es una respuesta completa para la prueba, pero posiblemente es un buen paso para uno. Yo también creo que el problema no es más que un ejercicio estándar en algunos libros de texto, pero dado que aún no hay un más calificados respuesta aquí, voy a hacer un poco ingenuo tratar tan lejos...

Para guardar la notación, vamos#s de escribir el h'th recorrer $\underset{h \text{ times }}{\underbrace {f(...f(f(x)))}}$ $x_h$ e su p'th poder como $x_h^p$ donde entendemos, que el superíndice obtiene evalauted después de que el subíndice.

Entonces podemos afirmar que la secuencia:
$$ x = x_{-2} \cdot x_{-1} \\ x = x_{-4} \cdot x_{-3}^2 \cdot x_{-2} \\ x = x_{-6} \cdot x_{-5}^3 \cdot x_{-4}^3 \cdot x_{-3} \\ x = x_{-8} \cdot x_{-7}^4 \cdot x_{-6}^6 \cdot x_{-5}^4\cdot x_{-4} \\ \cdots $$ Podemos observar, que los exponentes son los coeficientes binomiales si las potencias de 2 $(=(1+1))$ se expanden. Ahora la idea es, a la esperanza, que podemos introducir un límite y que se puede asumir, que en el límite de la diferencia entre la iteración se vuelve insignificante a continuación algunos de los epsilon, de tal manera que podemos escribir $$ x = \lim (x_{-2h})^{2^h} $$ Si asumimos, que $x_{-2h}<x_{-h}$, entonces podemos escribir $$ (x_{-2h})^{2^h}< x < (x_{-h})^{2^h} $$ o $$ (x_{-2h+1})^{2^h}< f(x) < (x_{-h+1})^{2^h} $$ y, a continuación, $$ (x_{-\infty} + \epsilon_1)^{2^h}< f(x) < (x_{-\infty} + \epsilon_2)^{2^h} $$ and then from a vanishing difference $\epsilon_1 - \epsilon_2 $ deduce, that the h'th iterate of f is necessarily of the form of the h'th iterate of a power $ax^b$ con algunos fija un y b . Aquí estoy atascado porque no tengo mucha experiencia con el formal, el manejo de tales limts, pero quizás este es un camino intuitivo donde uno puede seguir adelante...

Answer 3

De hecho, este pertenece a un funcional de la ecuación de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe2315.pdf.

Deje $\begin{cases}x=u(t)\\f=u(t+1)\end{cases}$ ,

A continuación, $u(t+2)=u(t)u(t+1)$

Deje $u(t)=e^{v(t)}$ ,

A continuación, $e^{v(t+2)}=e^{v(t)}e^{v(t+1)}$

$e^{v(t+2)}=e^{v(t)+v(t+1)}$

$v(t+2)=v(t)+v(t+1)+2n\pi i$ , $\forall n\in\mathbb{Z}$

$v(t+2)-v(t+1)-v(t)=2n\pi i$ , $\forall n\in\mathbb{Z}$

Deje $v(t)=v_c(t)+A$ ,

A continuación, $v_c(t+2)+A-(v_c(t+1)+A)-(v_c(t)+A)=2n\pi i$

$v_c(t+2)-v_c(t+1)-v_c(t)-A=2n\pi i$

$\therefore A=-2n\pi i$

Para $v_c(t+2)-v_c(t+1)-v_c(t)=0$ ,

$v_c(t)=C_1(t)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t+C_2(t)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t$ donde $C_1(t)$ $C_2(t)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de

$\therefore v(t)=C_1(t)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t+C_2(t)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t-2n\pi i$ , $\forall n\in\mathbb{Z}$ , donde $C_1(t)$ $C_2(t)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de

Por lo tanto $u(t)=e^{C_1(t)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t+C_2(t)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t-2n\pi i}$ , $\forall n\in\mathbb{Z}$ , donde $C_1(t)$ $C_2(t)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de

$u(t)=e^{C_1(t)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t}e^{C_2(t)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t}$ donde $C_1(t)$ $C_2(t)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de

$\therefore\begin{cases}x=e^{C_1(t)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t}e^{C_2(t)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t}\\f=e^{C_1(t)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{t+1}}e^{C_2(t)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{t+1}}\end{cases}$ donde $C_1(t)$ $C_2(t)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de