Puedo mostrarle $\sum_{i=1}^n 1/{i^2} \le 2$ sin cálculo?

Question

Estoy resolviendo un problema de teoría de números y que es suficiente para mostrar que $$\sum_{i=1}^n \frac {1}{i^2} \le 2$$ De hecho, sólo necesito $$\sum_{d|n} \frac{1}{d^2} \le 2$$ Tratando de wolfram alpha sugiere que es cierto, pero no sé cómo probar. Una prueba sin cálculo(que creo que puede ser utilizado) es preferible ya que no he aprendido todavía. Gracias por toda la ayuda:)

Answer 1

Desde $x \mapsto \dfrac1{x^2}$ es monótona decreciente de la función en $[1,\infty)$, luego tenemos $$ \sum_{n=1}^N\frac1{n^2}\leq1+\int_1^N\frac1{x^2}dx=1+\left[-\frac1x \right]_1^N=2-\frac1N, \quad N\geq1. $$ A partir de la cual se deduce fácilmente que

$$ \sum_{d|N} \frac1{d^2}\leq\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}\leq 2 $$

tal como se anunció.

Alternativamente, usted puede usar una antena telescópica de suma: $$ \frac1{n^2}\leq \frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n,\qquad n\geq2, $$ dando $$ \sum_{n=1}^N\frac1{n^2}\leq1+\sum_{n=2}^N\left(\frac1{n-1}-\frac1n \right)=1+1-\frac1N\leq 2. $$

Answer 2

Para$2^i\le j< 2^{i+1}$,$\frac{1}{j^2}\le\frac{1}{2^{2i}}$. Como tal, si tomamos $N=2^k-1$ algunos $k$, luego $$\sum\limits_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^2}} = \sum\limits_{i=1}^{k-1}{\sum\limits_{j = 2^i}^{2^{i+1}-1}{\frac{1}{j^2}}}\le\sum\limits_{i=1}^{k-1}{\sum\limits_{j=2^i}^{2^{i+1}-1}{\frac{1}{2^{2i}}}} = \sum\limits_{i=1}^{k-1}{\frac{2^i}{2^{2i}}}=\sum\limits_{i=1}^{k-1}{\frac{1}{2^i}} = 2 - \frac{1}{2^{k-1}}\le 2. $$ Ya que la suma es monótonamente creciente, el resultado de la siguiente manera para todos los $N$ (mirando a la siguiente potencia de 2, menos 1).

Esta lógica es muy similar a una prueba que muestra la divergencia de la serie armónica.