Proceso de Poisson y uniforme de la variable aleatoria

Question

Pregunta:

Una sola bomba de gasolina de la estación está quedando sin gasolina. El total de el volumen de la gasolina restante para la venta es $100$ litros.

Supongamos que los coches llegan a la estación según un proceso de Poisson con tasa de $\lambda$, y que cada coche se llena de forma independiente de todos los demás los coches y de la llegada de proceso, una cantidad de gasolina que se distribuye como una variable aleatoria uniforme sobre $(0, 50)$ - asumir para ejemplo de que todos los auto tanques tienen una capacidad de $50$ litros y controladores decidir "al azar" cuando vuelva a llenarse.

Suponemos que el servicio es instantánea, de modo que no hay colas en de la estación.

(a) En promedio, ¿cuántos de los coches de la estación de gasolina completamente de servicio (vender la cantidad total solicitada) antes de que se agote la gasolina (y antes de cualquier recarga se produce)?

(b) ¿cuánto tiempo tardará en promedio antes de la estación de que acabe el de gasolina (y antes de cualquier recarga se produce)?

Intento:

No estoy exactamente seguro de por dónde empezar con esta parte de la pregunta (a). Deje $U$ estar distribuidos de manera uniforme sobre $(0,50)$, entonces cada vez que un vehículo llegue a la estación de gasolina, el volumen total de gasolina disminuye por $U$. Así definen $U_1$ a ser la cantidad de gasolina que la primera llegada (una "llegada" aquí es cuando un coche llega a la estación de gasolina y repuestos) y $U_2$ ser que de la segunda llegada, y así sucesivamente. A continuación, cada una de las $U_i$ es idéntica e independientemente distribuidos de la $U$. Así que por el $N$-ésimo de la llegada, la estación ha $100-\sum_{i=1}^N U_i$ litros de gasolina restante. Dejamos de una vez $100-\sum_{i=1}^N U_i=0$ y que básicamente necesita encontrar a $E[N]$?

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Eso es todo lo que he conseguido hasta ahora, si alguien puede proporcionar una solución para los (a) (por ahora), eso sería bueno.

EDICIÓN: PROGRESO

Creo que no necesito usar la suposición de que los vehículos llegan según un proceso de Poisson en esta parte. Así pues, definiremos $U_k$ como la variable aleatoria que indica la cantidad de gasolina que el coche se $k$ llena, $k = 1, 2, 3, \cdots$. Por lo tanto, $U_k, k = 1, 2, 3, \cdots$ son de forma independiente e idénticamente distribuidas según una variable aleatoria uniforme sobre $(0,50)$.

Deje $N$ ser la variable aleatoria que denota el número de coches que la estación de gasolina puede completamente el servicio.

Ahora no me acababa de conseguir la pregunta. Dicen que tenemos el siguiente escenario:

Coche 1 viene con 10 LITROS quedan en el depósito, por lo que se van a llenar 40L, de ahí la cantidad de gasolina a la izquierda en la estación es ahora 100-40 = 60L.

Coche 2 viene con 10 LITROS quedan en el depósito, por lo que se van a llenar 40L, de ahí la cantidad de gasolina a la izquierda en la estación de ahora es de 60 a 40 = 20L.

Coche 3 viene con 20 LITROS quedan en el depósito, por lo que se van a llenar 30L, pero la estación de gasolina sólo ha 20L la izquierda, así que ¿esto significa que el Coche 3 acaba de salir de la estación de gasolina de llenado 0 L? Mi sensación es que esto no puede suceder porque cada coche sólo puede llenar una cantidad de ENTRE 0 y 50, es decir, (0,50) [tenga en cuenta que los puntos finales no están incluidos].

Por lo tanto, en este escenario, la estación de gasolina funciona "out" de la gasolina en N=3 porque no tiene lo suficiente para atender PLENAMENTE Coche 3, aunque todavía tiene 20L a la izquierda en la bomba. Por lo tanto, la gasolina de la estación de servicio sólo para N=2 coches.

Es esta la interpretación correcta? Si es así, ¿cómo puedo encontrar a $E[N]$?

EDIT 2: trabajando en más...

Definir $G_N = \sum_{k=1}^N U_k$, $E[N] = \sum_{n=1}^{\infty} n P(N=n) = \sum_{n=1}^{\infty} n P(G_n \le 100)$

Esta equivalencia viene del hecho de que el evento $\{N=n\}$ sólo ocurrirá si $100 - G_n \ge 0$.

Sin embargo, quedan dos preguntas, ¿cuál es la distribución de $G_n$? (¿Cómo puedo derivar la distribución de la suma de $n$ iid uniforme de variables aleatorias y segundo, ¿cómo puedo calcular la suma infinita?

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Además, debo mencionar que esta pregunta se puede hacer sin la necesidad de ningún ordenador, paquete de software o programación. Tiene una forma cerrada de la solución con una respuesta exacta, me estoy sintiendo que mi enfoque actual definitivamente no funcionará con la mano.

Answer 1

Deje $N$ denotar el número de coches que será cumplido totalmente, en otras palabras, si $N=n$, entonces el coche $n+1$ es el primero de un pedido de más gasolina de la cantidad a la izquierda en la estación.

Cambiando ligeramente las anotaciones y el uso de la homogeneidad del problema, $$ [N\geqslant n]=[\text{auto}\ n\ \text{es totalmente servido}]=[U_1+\cdots+U_n\leqslant2], $$ where the random variables $U_n$ are i.i.d. and uniform on $(0,1)$. The mean time elapsed between two cars are served is $1/\lambda$ hence the mean time $\mathtt t$ antes de que algunos de gasolina de la orden no puede ser satisfecho es $$ \mathtt t=\frac{E(N)+1}\lambda. $$ Ahora, vamos a $N_x$ denotar el número de coches que será totalmente sirve si el volumen inicial de la gasolina en la estación de es $x\cdot50$ litros. A continuación, $N=N_2$ y, para cada $x\geqslant0$, acondicionado en la cantidad de gasolina el primer coche que se sirve y el uso de la identidad de $P(U_1\leqslant x)=\min\{x,1\}$, se obtiene $$ E(N_x)=\min\{x,1\}+\int_0^{\min\{x,1\}}E(N_{x-u})\,\mathrm du. $$ Por lo tanto, si $x\geqslant1$ $$ E(N_x)=1+\int_0^1E(N_{x-u})\,\mathrm du=1+\int_{x-1}^xE(N_u)\,\mathrm du, $$ mientras que si $x\leqslant1$ $$ E(N_x)=x+\int_0^xE(N_{x-u})\,\mathrm du=x+\int_0^xE(N_u)\,\mathrm du. $$ Deje $n(x)=E(N_x)$. Si $x\leqslant1$, luego $$ n'(x)=1+n(x), $$ y $n(0)=0$ por lo tanto, para cada $x$$(0,1)$, $$ n(x)=\mathrm e^{x}-1. $$ Si $1\leqslant x\leqslant2$, luego $$ n'(x)=n(x)-n(x-1)=n(x)-(\mathrm e^{x-1}-1). $$ La integración de este y usando la condición inicial $n(1)=\mathrm e-1$, se obtiene para cada $x$$(1,2)$, $$ n(x)=\mathrm e^x-1-\mathrm e^{x-1}(x-1), $$ en particular, $$ E(N)=n(2)=\mathrm e^2-1-\mathrm e, $$ que los rendimientos de $$ \mathtt t=\frac{\mathrm e^2-\mathrm e}\lambda\approx\frac{4.67}\lambda. $$

Answer 2

Esta es mi respuesta, en colaboración con mi hermano (el 75% por mí y el 25% por él... está Bien, usted no debe creer en mí, este 50%-50% trabajo! Aunque, él sólo me guía un poco y dejar que me prestara su stat de libros de texto). Aquí vamos! \(^◡^)/

Deje $X_i$ ser una variable aleatoria que indica la cantidad de gasolina que se llena a la $i$-th coche, $N$ ser una variable aleatoria que denota el número de coches que la estación de gasolina puede aprovechar el servicio, y $V$ ser una variable aleatoria que denota el volumen total de gasolina que se utiliza para rellenar los coches.

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Supuestos:

1. Condicional en $N=n$, las variables aleatorias $X_1,\cdots,X_n$ son yo.yo.d. variables aleatorias.
2. Condicional en $N=n$, el común de la distribución de las variables aleatorias $X_1,\cdots,X_n$ no depende de $n$.
3. La distribución de $N$, que no depende en forma alguna en los valores de $X_1,\cdots,X_n$.

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Entonces, tenemos un modelo \begin{align} V=X_1+X_2+\cdots+X_N,\qquad\qquad N=0,1,2,\cdots, \end{align} donde $V=0$ al $N=0$. A partir de Bayes tenemos \begin{align} \text{E}[Y]=\text{E}[\text{E}(Y|X)], \end{align} entonces, el momento de generación de función (MGF) de $V$ es \begin{align} \text{M}_V[t]&=\text{E}\left[e^{\Large tV}\right]\\ &=\text{E}\left[e^{\Large t(X_1+X_2+\cdots+X_N)}\right]\\ &=\text{E}\left[\text{E}\left(e^{\Large t(X_1+X_2+\cdots+X_n)}|N=n\right)\right]\\ &=\sum_{n=0}^\infty\text{E}\left(e^{\Large t(X_1+X_2+\cdots+X_n)}|N=n\right)\Pr(N=n) \end{align} La expectativa de valor de $V$ puede ser calculada de la siguiente manera \begin{align} \text{E}[V]&=\left.\frac{d}{dt}\text{M}_V[t]\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{d}{dt}\sum_{n=0}^\infty\text{E}\left(e^{\Large t(X_1+X_2+\cdots+X_n)}|N=n\right)\Pr(N=n)\right|_{t=0}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\text{E}(X_1+X_2+\cdots+X_n|N=n)\Pr(N=n)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\text{E}(nX_i)\Pr(N=n)\\ &=\text{E}(X_i)\sum_{n=0}^\infty n\Pr(N=n)\\ &=\text{E}(X_i)\text{E}(N)\\ \end{align} Esperamos que el volumen total de gasolina que se utiliza para rellenar los coches es $100$ litros y $X_i$ es distribuido uniformemente sobre $(0,50)$. Por lo tanto \begin{align} \text{E}[V]&=\text{E}(X_i)\text{E}(N)\\ 100&=\frac{1}{2}(0+50)\text{E}(N)\\ 100&=25\text{E}(N)\\ \text{E}(N)&=4 \end{align} Por lo tanto, el número de coches que será cumplido plenamente con su es $4$ coches y si $T$ es una variable aleatoria que denota el tiempo que se toma antes de la estación se queda sin gasolina, a continuación, \begin{align} \text{E}(T)&=\frac{\text{E}(N)}{\lambda}=\frac{4}{\lambda} \end{align} Para ser honesto, no estoy muy seguro acerca de mi respuesta ya que el resultado es demasiado bueno para ser verdad. ✌(^ₒ^)✌

P. S. Usted puede votar por mi respuesta, pero por favor, asegúrese de que usted también una respuesta a esta pregunta. Gracias. ≧◠◡◠≦✌