Escribir $L=K(\zeta_p)$, y deje $G_K$ (resp. $G_L$) ser el abolute grupo de Galois de $K$ (resp. $L$), por lo que el $G_K/G_L = \Delta$. La inflación de restricción da un isomorfismo $H^1(G_K,\mathbb Z/p) = H^1(G_L,\mathbb Z/p)^{\Delta},$ donde el superíndice $\Delta$ indica el submódulo de $\Delta$-invariantes. (Más precisamente, hay un mapa de la mano izquierda a la mano derecha, que
en este caso es un isomorfismo, porque el acompañamiento en términos de la inflación-la restricción de la secuencia exacta de involucrar a cohomology de $\Delta$ con coeficientes en
$\mathbb Z/p$, y este cohomology se desvanece, ya que $|\Delta| \mid p-1$, lo que
es coprime a $p$.)
Ahora bien, si hemos de elegir un isomorfismo $\mathbb Z/p \cong \mu_p$ (es decir, fijar una selección de $\zeta_p$ de los primitivos $p$th raíz de $1$), entonces tenemos un isomorfismo
$H^1(G_L,\mathbb Z/p)^{\Delta} = H^1(G_L,\mu_p)^{\omega}.$ (El superíndice $\omega$ aquí estoy usando en su sentido, es decir, es el submódulo en que $\Delta$ actúa a través de la $\omega$.)
[Añadido: tenga en cuenta que $\Delta$ actúa en $\mu_p$ a través del personaje de $\omega$.
Así que un cohomology de la clase $c$ $H^1(G_L,\mathbb Z/p)^{\Delta}$ es fijo
por $\Delta$ si y sólo si, cuando es considerado como una clase en
$H^1(G_L,\mu_p)^{\omega}$, la acción de la $\Delta$ está dada por el carácter
$\omega$.]
Finalmente,
Hilbert Teorema de 90 da un isomorfismo $H^1(G_L,\mu_p) = L^{\times}\otimes
\mathbb F_p.$
Así que, en conclusión, existe un isomorfismo
$$(L^{\times} \otimes \mathbb F_p)^{\omega} \cong H^1(G_K,\mathbb Z/p) = Hom(G_K^{ab},\mathbb Z/p).$$
La anterior isomorfismo tiene una concreta interpretación: es decir, un (no trivial) mapa de
$G_K^{ab}$ $\mathbb Z/p$corresponde a un grado $p$ abelian exension
de $K$, decir $F$. Si se forma el compositum de $F$$L$, obtenemos un
grado $p$ extensión de $L$. (Debido a que el grado de $L$ $K$ divide
$p-1$, este compositum está siendo verdaderamente de grado $p$$L$.) Kummer
la teoría nos permite describir esta extensión mediante la extracción de la $p$th raíz
de algún elemento $l \in L^{\times}$. La imagen de $l$ $L^{\times}\otimes
\mathbb F_p$ is then an element of $(L^{\times}\otimes \mathbb F_p)^{\omega}.$
Por el contrario, si tenemos un elemento de $(L^{\times}\otimes \mathbb F_p)^{\omega},$ dicen que la imagen de algún elemento $l \in L^{\times}$,
a continuación, contigua a la $p$th raíz de $L$ $L$da una extensión cíclica de $L$
de grado $p$. La suposición de que $\Delta$ hechos en la imagen de $l$ en
$L^{\times}\otimes\mathbb F_p$ través $\omega$ muestra (con un poco de cálculo)
que $L(l^{1/p})$ es en el hecho de abelian (de grado $(p-1)p$)$K$,
y por lo que contiene un grado $p$ subextension $F$$K$, por lo que el $L(l^{1/p}) = F L.$
Las dos construcciones se acaba de describir dar una descripción explícita de cada dirección de la isomorfismo obtenidos por cohomological métodos anteriores.
Por ejemplo, el elemento $\zeta_p$ que menciona en su pregunta se corresponde con el grado $p$ subextension
de $K$$K(\zeta_{p^2})$. Pero cualquier número de campo admite (infinitamente) muchos otros grado $p$ abelian extensiones, y estas dan lugar a (infinitamente) muchos otros elementos
de $(L^{\times}\otimes \mathbb F_p)^{\omega}$.
Permítanme, finalmente, explicar por qué es razonable que debe haber muchos de esos elementos: el espacio
$L^{\times}\otimes \mathbb{F}_p$ es un infinito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb F_p$, lo que (desde $\Delta$ tiene orden de prime-a-$p$) se descompone en una suma de
subespacios propios en virtud de la $\Delta$-acción. Pero $\Delta$ tiene sólo un número finito de caracteres, por lo que sólo contando, vemos que al menos un espacio propio se va a tener que ser de infinitas dimensiones. De hecho, todos los subespacios propios será de infinitas dimensiones, y que la discusión anterior se demuestra por el $\omega$-espacio propio.
