¿Existe una función no constante $f$ tal que $f'(x) = f(x - 1)$ ?

Question

En el cálculo discreto, donde el operador de diferencia $\Delta f = f(x + 1) - f(x)$ sustituye a $\frac{d}{dx}$ Las secuencias de Fibonacci están dadas por las funciones que satisfacen

$$ \Delta f(x) = f(x - 1) $$

¿Existe una función no constante tal que $\frac{d}{dx}f(x) = f(x - 1)$ ? Si existe, sería el "análogo continuo de la secuencia de Fibonacci" en este sentido, lo que parece genial.

Answer 1

Elija la constante $C$ que satisface $C=e^{-C}$ . Tenga en cuenta que $C=W(1)\approx 0.567$ . Tomamos

$$f(x)=e^{Cx}$$ $$f'(x)=Ce^{Cx}$$ $$f(x-1)=e^{C(x-1)}=e^{Cx}e^{-C}=Ce^{Cx}$$