Cómo hacer "las Variables Ficticias" de trabajo?

Question

No entiendo cómo las variables ficticias de trabajo en matemáticas.

Supongamos que tenemos:

$$I_1 = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$$

¿Cómo es equivalente a:

$$I_2 = \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy$$

¿Cómo afecta esta variable ficticia sistema de trabajo?

Desde $y$ es la variable dependiente para $I_1$ ¿Cómo se puede $y$ propio ser y la variable independiente para $I_2$

??

Gracias!

Answer 1

$$ \sum_{j=1}^3 j^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 = \sum_{k=1}^3 k^4. $$ En primer término, $1^4$, podemos decir que el $j=1$; en el segundo término $2^4$ tenemos $j=2$, y en tercer término, $3^4$ tenemos $j=3$. Pero cuando llamamos al índice $k$ en lugar de $j$, en el primer plazo $k=1$, en el segundo $k=2$, y en el tercer $k=3$.

$j$ o $k$ es un obligado variable (también a veces se llama una variable ficticia). El valor de la expresión completa $1^4+2^4+3^4$,$98$, no depende del valor de una variable ligada.

Si escribimos $\displaystyle\sum_{j=1}^3 (j \cos (j+m))^4$, $j$ está ligado y $m$ es gratis. La suma es $$(1\cos (1+m))^4 + (2\cos (2+m))^4 + (3\cos(3+m))^4.\tag 1$$ Its value depends on the value of the free variable $m$, but not on the value of anything called $j$. Accordingly we do not see $j$ in $(1)$. We could rename $j$ and call it $k$, and the whole thing would still be equal to the expression $(1)$ in which we also do not see $k$.

Consulte este artículo de la Wikipedia.

Otro ejemplo es el de expresiones como $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}h=3x^3$. El valor de esta expresión depende del valor de la variable libre $x$, pero no de la dependiente (o "dummy") variable $h$. Le podría haber dicho a $\displaystyle\lim_{k\to0}\frac{(x+k)^3-x^3}k=3x^3$ y podría todavía ser $3x^2$.

Answer 2

En ambos casos es la variable independiente. Nota en su integrales que $x$ aparece en ningún lugar en la $I_2$ $y$ se produce ningún lugar en $I_1$.

Es común escribir $y$ como la variable dependiente y $x$ la variable independiente. Pero no hay ninguna regla que diga que usted tiene que. Usted puede escribir $x = f(y) = y^2 + 2\sin y$ si quería, o poner el $y$-eje horizontal y $x$ vertical.

edit: nota: en cualquier caso de que $I$ es constante$\left({I = \dfrac {\sqrt{\pi}} 2}\right)$, por lo que no es "dependiente" de la manera que puede ser usado para. Los matemáticos dicen cosas como "$I$ es un trivial de la función de $x$", lo que significa que a pesar de que es técnicamente cierto que $I = f(x)$, la relación no es interesante.

He aquí un interesante no trivial de la función:

$\displaystyle I(z) = \int_0^z e^{-t^2} \, \mathrm dt$

Answer 3

OMI esto se puede entender mucho mejor por escrito y en un contexto apropiado, de manera libre, en lugar de la estándar de notación matemática. La integración símbolo $\int_0^\infty$ es básicamente un orden superior función, teniendo una función real¹ y devuelve un único número. $$ \int\limits_0^\infty : (\mathbb{R}\to \mathbb{R}) \to \mathbb{R}. $$ Ahora, la gente sigue diciendo cosas como "$\sin(x)$ es una función..." pero en realidad esto es incorrecto. $\sin(x)$ es, para cualquier valor de $x$, sólo un único número real. ¿Qué es una función de es $\sin$ sí, es decir, no se aplica para nada. Por ejemplo, $$ \int\limits_0^\pi \pecado = 2 $$ sería bastante una declaración razonable. OTOH, es una tontería escribir $$ \int\limits_{-\infty}^0 e^x = 1 $$ debido a $e^x$ no es una función.

El problema es que la mayoría de las funciones que necesita para integrar no tiene un nombre predefinido. No se puede escribir así "la función" directamente, pero tiene que especificar los resultados de la función general de entradas, en forma de expresión algebraica. Usted sabe, la ecuación-definiciones $$ f(x) = e^{-x^2}. $$ Aquí debe ser bastante claro que el $x$ símbolo es sólo una elección arbitraria – es algo que usamos para significar "cualquier cosa que usted puede poner en la función", y $f(y) = e^{-y^2}$ dice que obviamente exactamente la misma cosa.

Tener siempre a dar funciones de un nombre antes de que la integración sería tedioso, por lo que tenemos "sintaxis de método abreviado" para definir una "función anónima" y de utilizar de inmediato. Usted puede pensar de la $\mathrm{d}x$ símbolo tanto como una función lambda.

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¹_{De hecho, con mayor precisión y, en general, de una forma diferenciada.}

²_{de Nuevo, que no todo lo que hay desde $\mathrm{d}x$ es realmente una forma diferenciada.}

Answer 4

Cuando le dicen que para calcular cantidad matemática según datos dados $a$, $\ldots\>$, $q$ el esclavo (persona o sistema informático) haciendo el cálculo para la que se introducen determinadas variables auxiliares cuyos nombres, valores temporales, etc., será invisible para usted, y no va a afectar el resultado final. Este último sólo depende de la "exterior" de las cantidades $a$, $\ldots\>$, $q$. Cuando estas variables auxiliares son muy variables durante el proceso informático se pueden llamar las variables ficticias – que será "quemada" por el final, y cuando se determina únicamente por los datos que se les puede llamar de accesorios de parámetros a la pregunta.