Mi problema es entender el comportamiento de la transformación de un espinor de Dirac (en la base de Weyl) bajo transformaciones de paridad. La respuesta estándar de los libros de texto es
$$\Psi^P = \gamma_0 \Psi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix}, $$ que estoy tratando de entender usando el comportamiento de la transformación de los espinores de Weyl $\chi_L $ y $\xi_R$ . Entendería el operador de transformación anterior si por alguna razón $\chi \rightarrow \xi$ bajo transformaciones de paridad, pero no sé si esto se puede justificar y cómo. ¿Hay alguna interpretación de $\chi $ y $\xi$ que justifique tal comportamiento?
Algunos antecedentes:
Un espinor de Dirac en la base de Weyl se define comúnmente como
$$ \Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix}, $$ donde los índices $L$ y $R$ indican que los dos espinores de Weyl $\chi_L $ y $\xi_R$ , se transforman de acuerdo con el $(\frac{1}{2},0)$ y $(0,\frac{1}{2})$ representación del grupo de Lorentz, respectivamente. Un espinor de la forma
$$ \Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \chi_R \end{pmatrix}, $$ es un caso especial, llamado espinor de Majorana (que describe partículas que son sus propias antipartículas), pero en general $\chi \neq \xi$ .
Podemos derivar fácilmente cómo se comportan los espinores de Weyl bajo transformaciones de Paridad. Si actuamos con una transformación de paridad sobre un espinor zurdo $\chi_L$ : $$ \chi_L \rightarrow \chi_L^P$$ podemos derivar que $\chi_L^P$ se transforma bajo impulsos como un espinor de la derecha
\begin{equation} \chi_L \rightarrow \chi_L' = {\mathrm{e }}^{ \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L \end{equation}
\begin{equation} \chi_L^P \rightarrow (\chi^P_L)' = ({\mathrm{e }}^{ \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L)^P = {\mathrm{e }}^{ - \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L^P, \end{equation} porque debemos tener bajo la transformación de paridad $\vec \sigma \rightarrow - \vec \sigma$ . Podemos concluir $ \chi_L^P = \chi_R$ Por lo tanto, un espinor de Dirac se comporta bajo transformaciones de paridad $$ \Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^P= \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix} , $$ lo cual es erróneo. En los libros de texto la transformación de paridad de un espinor de Dirac viene dada por
$$\Psi^P = \gamma_0 \Psi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix}. $$
Esto sólo equivale a la transformación descrita anteriormente de $\chi = \xi$ que, a mi entender, sólo es cierto para espinores de Majorana, o si por alguna razón bajo transformaciones de paridad $\chi \rightarrow \xi$ . Creo que esto último es cierto, pero no sé por qué debería ser así. Tal vez esto se pueda entender en cuanto se tenga una interpretación para esos dos espinores $\chi$ y $ \xi$ ...
Actualización : Un problema similar aparece para la conjugación de cargas: Considerando los espinores de Weyl, se puede demostrar fácilmente que $ i \sigma_2 \chi_L^\star$ se transforma como un espinor diestro, es decir $i \sigma_2 \chi_L^\star = \chi_R $ . De nuevo, esto no puede ser totalmente correcto porque esto significaría que un espinor de Dirac se transforma bajo conjugación de carga como
$$ \Psi= \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^c = \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix},$$ lo cual es erróneo (y significaría que una transformación de paridad es lo mismo que una conjugación de cargas). Sin embargo, podríamos argumentar que para obtener el mismo tipo de objeto, es decir, de nuevo un espinor de Dirac, debemos tener
$$ \Psi= \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^c = \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix},$$
porque sólo entonces $\Psi^c$ transformaciones como $\Psi$ . En otras palabras: Escribimos la componente de la mano derecha siempre por debajo de la componente de la mano izquierda, porque sólo entonces el espinor se transforma como el espinor de Dirac con el que empezamos.
De hecho, se trata de la conjugación de cargas estándar de los libros de texto, que puede escribirse como
$$ \Psi^c = i \gamma_2 \Psi^\star= i \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} \Psi^\star = i \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix}^\star= \begin{pmatrix} -i\sigma_2 \xi_R^\star \\ i\sigma_2 \chi_L \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix} .$$ En la última línea he utilizado eso, $i \sigma_2 \chi_L^\star$ se transforma como un espinor diestro, es decir $i \sigma_2 \chi_L^\star = \chi_R $ . La conjugación de cargas del libro de texto posible nos orienta hacia una interpretación, como $\chi$ y $\xi$ tienen carga opuesta (como se escribe por ejemplo aquí ), ya que esta transformación viene dada básicamente por $\chi \rightarrow \xi$ .
