Ideal con gran base de Grobner con respecto a un orden monomial

Question

¿Cuál es un ejemplo de un conjunto de a lo sumo cuatro polinomios $f_1,\ldots,f_n$ (en cualquier número de variables) tal que $\{f_i\}$ es una base de Grobner de $I=\langle f_i\rangle$ con respecto a un orden monomial, pero cualquier base de Grobner para $I$ con respecto a otro orden monomial tiene al menos $1000$ ¿elementos?

No sé cómo empezar a encontrar este conjunto de polinomios. ¿Cuál debería ser la idea?

Answer 1

Sé que esto no es lo que el OP ha pedido, pero puedo ofrecer el siguiente comienzo esbozando la solución a un problema más fácil:

Te voy a dar $f,g$ en 2 variables y un ordenamiento monomial tal que el algoritmo de Buchberger -en el proceso de creación de la base de Grobner- da al menos 1000 elementos; mientras que bajo un ordenamiento monomial diferente, $f,g$ es en sí mismo una base de Grobner para el ideal que genera. Sé que el OP pidió que TODAS las bases de Grobner tengan al menos 1000 elementos, mientras que yo sólo muestro aquí un caso en el que el algoritmo de Buchberger tarda ridículamente en terminar.

Tome el pedido de Lex, con $x>y$ y $f(x,y)=x^{1000}$ y $g(x,y)=x^{999}y^{999}+x^{998}y^{998}+...+xy$ . Si se calcula el $S$ -polinomio, se multiplica $g$ por $x$ y eliminando el término inicial, obteniendo $x^{999}y^{998}+x^{998}y^{997}+...+x^2y$ . Ninguno de los términos es divisible por $LT(f), LT(g)$ . Así que lanza este nuevo $f_3$ en su base. Si ahora calcula $S(f,f_3)$ , vuelves a multiplicar $f_3$ por $x$ y desechar el término principal, obteniendo $x^{999}y^{997}+x^{998}y^{996}+...+x^3y$ . Esperemos que el patrón sea claro, y por qué el algoritmo Buchberger dará al menos 1000 elementos.

Ahora, afirmo que se puede modificar $g$ ligeramente para que este proceso anterior siga dando al menos 1000 elementos, y para que bajo la ordenación monomial Lex con $y>x$ , $f,g$ es ahora una base de Grobner para el ideal que genera. Te dejaré resolver esta parte, ¡para que puedas seguir divirtiéndote haciendo el problema! =]