El Yoneda Lexema (o,1)-categorías?

Question

De acuerdo a esta página en la nLab, no está claro si o no todo el Yoneda lema generaliza a $(\infty ,1)$-categorías en lugar de sólo la Yoneda incrustación. Han habido contraejemplos a la declaración más fuerte? Si no, ¿qué complicaciones hay en la generalización de la totalidad de Yoneda lema? Todo el lexema es una herramienta muy poderosa en el ordinario de la categoría de teoría, y si no hay una respuesta definitiva, existen razones para creer que la generalización debería o no debería ser verdad?

Por el "todo" Yoneda lema, me refiero a la isomorfismo $F(X)\cong Nat(h_X,F)$

Answer 1

Aquí es un (tautológica) la prueba en el contexto de cuasi-categorías. Deje $A$ ser un cuasi-categoría. Ordinario de la categoría de teoría, uno puede describir la categoría de presheaves de los conjuntos más pequeños de la categoría $C$ cuando la totalidad de la subcategoría de $Cat/C$ atravesado por Grothendieck fibrations con fibras discontinuas. Un cuasi-categoría de versión consistiría en decir que un presheaf más de un cuasi-categoría $A$ es un Grothendieck fibration (cartesiano fibration en Lurie terminología), cuyas fibras se $\infty$-groupoids (este es el modo de ser discretos en el valor más alto). Tal fibrations son simplemente el derecho fibrations.

Más precisamente, un modelo de la teoría de la presheaves (o $\infty$-pilas) $A$ es el modelo de la categoría de simplicial conjuntos de $A$, en el que el fibrant objetos de derecho fibrations $X\to A$, mientras que el cofibrations son los monomorphisms. La débil equivalencias entre los dos fibrations $A$ son simplemente el fiberwise categórica de equivalencia (para los diferentes modelos de la teoría de las pilas de más de un cuasi-categoría, véase el §5.1.1 en Lurie libro). Desde este punto de vista, lo representable pilas de más de $A$ son el derecho fibrations $X\to A$ tal que $X$ tiene una terminal de objeto. Si $a$ es un objeto ($0$-celda) de $A$, no es un derecho canónico fibration $A/a \to A$ (a partir de la teoría general de la une): este es el registro de la pila asociada a $a$. También se puede construir un modelo de $A/a$, teniendo un fibrant reemplazo del mapa $a:\Delta[0]\to A$ (visto como un objeto de $SSet/A$). Este modelo de categoría tiene el buen gusto de ser un simplicial modelo de la categoría. En particular, usted tiene un simplicially enriquecido Hom, que voy a indicar aquí por $Map_A$, y que puede ser descrito como sigue. Si $X$ $Y$ son dos simplicial conjuntos de $A$, hay un conjunto simplicial $Map_A(X,Y)$ de los mapas de$X$$Y$$A$: si $\underline{Hom}$ es el interior de la Hom de simplicial establece, a continuación, $Map_A(X,Y)$ es simplemente la fibra de la obvia mapa de $\underline{Hom}(X,Y)\to\underline{Hom}(X,A)$ sobre el $0$-celda correspondiente a la mapa estructural $X\to A$. Si $Y$ es fibrant (es decir, $Y\to A$ es un derecho fibration), a continuación, $Map_A(X,Y)$ es un complejo de Kan (porque es la fibra de un derecho fibration, por tanto, de un conservador interior Kan fibration), que es la asignación de espacio de los mapas de $X$ $Y$para este modelo de estructura en $Sset/A$. $Map_A$ es un Quillen functor de dos variables con valor en el modelo habitual de la categoría de simplicial conjuntos.

Si $a$ es un objeto de $A$, visto como un mapa de $a: \Delta[0]\to A$, es decir, como un objeto de $SSet/A$, entonces para cualquier derecho fibration $F\to A$, podemos ver que $Map_A(a,F)$ es isomorfo a $F_a$, que es la fibra del mapa $F\to A$ $a$ (que es también un homotopy la fibra para el Joyal estructura del modelo). Teniendo en cuenta la débil equivalencia de$a: \Delta[0]\to A$$A/a\to A$, también tenemos una débil equivalencia de los complejos de Kan

$$Map_A(A/a,F)\overset{\sim}{\to}Map_A(a,F)=F_a\, .$$

Esto le da al completo Yoneda lema.

Answer 2

El Yoneda lema es cierto para $(\infty,1)$-categorías, y me puede dar una prueba: si me dejas elegir el modelo de $(\infty,1)$-categorías que yo uso!

Voy a tomar topológico categorías (=categorías enriquecida a través de los espacios) como mi modelo de una $(\infty,1)$-categoría. Deje $C$ ser un pequeño topológica de la categoría, y deje $D_C$ denotar la categoría de topológico functors de $C^{\mathrm{op}}$ a los espacios (y por "topológico functor" me refiero a functor entre las categorías enriquecida a través de los espacios compatible con el enriquecimiento).

La categoría de $D_C$ es un modelo cerrado de la categoría de uso de la proyectivas de la estructura del modelo (débil equivalencias y fibrations son los mapas que son así cuando se evalúa a los objetos de $C$; esto significa, en particular, que todos los objetos de $D_C$ son fibrant, y que representable functors son cofibrant en $D_C$).

Deje $D_C'$ a la totalidad de la subcategoría $D_C'\subset D_C$ de fibrant-cofibrant objetos en $D_C$, desde una perspectiva topológica de la categoría. Voy a tomar la topológico categoría $D_C'$ como mi modelo de la $(\infty,1)$-categoría de $\infty$-groupoid valorado presheaves. Tenga en cuenta que el Yoneda functor $C\to D_C$ (que es un topológico functor), en realidad los factores a través de $D_C'$, y creo que ésta es mi modelo de la $(\infty,1)$categoría Yoneda functor.

Si usted compra de todo esto, entonces el $(\infty,1)$categoría Yoneda lema es inmediata (se deduce de la habitual Yoneda lema enriquecido categorías).

Por supuesto, usted podría tener un modelo diferente de $(\infty,1)$-categorías en la mente. En cuyo caso, usted querrá saber si mi modelo es realmente "equivalente" a la suya. Estoy seguro de que el estado de la técnica le permitirá probar esto (si su modelo es uno de los sospechosos de siempre), aunque no tengo una referencia útil.

(Yo estaría muy sorprendido si uno no pudo dar una prueba en términos de quasicategories; me imagino que el "cartesiano fibration" formalismo para representable functors que Lurie utiliza en su libro iba a hacer esto fácilmente, pero dado que no he leído que ahora en el libro, no sé.)