He leído, incluso en este sitio web, acerca de la conexión de positiva definida matrices. La prueba está dada en la forma convexa de la ecuación. Me pregunto cómo entenderlo intutively. por ejemplo, como una analogía, una parábola convexa y continua, por lo tanto, su conexión es evidente. Cómo entender positiva definida matrices en esta línea. En el primer pensamiento, me sentí, en el vecor espacio, la próxima coloca la matriz puede no ser positiva definida, como necesitamos que todos los líderes principales de los menores a ser positivo. Me sentía, tal vez esta condición podría ser satisfecho sólo después de cierta distancia en el espacio vectorial. Así, sentí que estas matrices se desconecta. Pero, por supuesto, yo estaba equivocado. Me pregunto cómo construir la intuición para la conectividad a lo largo de estas líneas. Gracias.
Respuestas
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La más sencilla intuición proviene del hecho de que el conjunto de $P$ de positiva definida matrices es convexo y conjuntos convexos de ruta conectado por líneas rectas.
Si $\langle x, A_k x \rangle > 0$ todos los $x \neq 0$,$\lambda \in [0,1]$, tenemos $\langle x, (\lambda A_1 +(1-\lambda) A_2 )x \rangle = \lambda \langle x, A_1 x \rangle + (1-\lambda) \langle x, A_2 x \rangle > 0$, por lo tanto $\lambda A_1 +(1-\lambda) A_2$ es positiva definida.
Una forma de hacerlo es tomar una positiva definida la matriz de $M=PDP^{T}$ donde $D$ es diagonal con todas las entradas de la diagonal positiva y $P$ es una matriz ortogonal de vectores propios (utilice el Teorema Espectral). Ahora, considere el camino de $\mathcal{M}(t)$ dada por
$$\mathcal{M}(t)=P\Big(tI+(1-t)D\Big)P^{T}$$
Tenemos que $\mathcal{M}(0)=M$, $\mathcal{M}(1)=I$ y $\mathcal{M}(t)$ es positiva definida para todos los $t\in[0,1]$. De ello se desprende que hay un camino que conecta cada positiva definida la matriz de la identidad, de modo que formen una trayectoria-conectado (y por lo tanto conectado.
