Condición para $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)$?

Question

Deje $f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$. Hay un courterexample para la siguiente igualdad o es siempre verdadera?

$$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)$$

Lo que creo es que uno necesita una función continua ya que esto siempre es cierto para una función continua. Sería $1_{\Bbb Q}$ trabajo? Hay otros contraejemplos?

Answer 1

En realidad, incluso para una función es discontinua en un solo punto, esto no tiene que ser verdadero. Por ejemplo: $$f(x)=\begin{cases}\sin(\pi/x)&:x\neq0\\ 0&:x=0\end{cases}.$$ This equals $0$ for every $n\in\Bbb Z\setminus\{0\}$ as $\pi/(1/n)=n\pi$ but the limit as $x\to0$ no existe. Sin embargo, si la función es continua, entonces sí, los límites serán iguales.

Por lo tanto, como se puede ver, la única manera de garantizar que los límites son iguales es si $$\lim_{x\to0}f(x)$$ existe.

Answer 2

Si el lado izquierdo límite existe, entonces ambos límites existen y son iguales. Sin embargo, es posible que el lado derecho de limitar a existir y el lado izquierdo límite no existe (en el que caso de $f$ debe ser discontinua.) Por ejemplo, supongamos $f(x) = 1$ si $x = 1/n$ algunos $n \in \mathbb{N}$ $f(x) = 0$ lo contrario.