Singular de la matriz de covarianza

Question

Estoy buscando en el proceso de $\{X_t, t\in\mathbb{Z}\}$, $X_t=A\cos(\lambda t)+B\sin(\lambda t)$, aquí $\lambda\in(0,\pi)$ es fijo, $A$ $B$ están correlacionadas las variables aleatorias con $EA=EB=0$, $EA^2=EB^2=\sigma^2$.

He encontrado la función de covarianza $r(k)=\sigma^2\cos(\lambda k)$ y ahora quiero demostrar que el proceso de' matriz de covarianza

$$\sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \cos(\lambda) & \cos(2\lambda) & \cdots & \cos(n\lambda) \\ \cos(\lambda) & 1 & \cos(\lambda) & \cdots & \cos((n-1)\lambda) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cos(n\lambda) & \cos((n-1)\lambda) & \cos((n-2)\lambda) & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

es singular cuando se $n\geq 2$. También la relación $X_{n+1}=2X_n\cos\lambda-X_{n-1}$, $n\geq 2$ sostiene, a partir de la cual tengo que $r(k)=\frac{r(k-1)+r(k+1)}{2\cos\lambda}$. Pero no puedo encontrar una manera rápida de mostrar que la matriz de covarianza es singular ni usando la última relación ni la matriz anterior.

Answer 1

Deje $Z = (X_0 , X_1 , \dots , X_n )^T$,

y deje $$U = \left( \begin{matrix}1 & 0 \\ \cos \lambda & \sin \lambda \\ \dots & \dots \\ \cos \lambda n &\sin \lambda n \end{matrix} \right).$$

Entonces $$ Z = U \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)$$ where $$\text{Cov} \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right ) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right).$$ $EZ = 0$ $$ \text{Cov} Z = EZZ^T = U \text{Cov} \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) U^T = U\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right) U^T = UU^T.$ $

Claramente, la matriz de covarianza de $Z$ es singular por $ n \geq 2 $ rango $U$ es atmost 2, ya que es un $ n \times 2 $ de la matriz y el rango de $ \text{Cov}(Z) $ es menor o igual que el rango de $U$.

Answer 2

La matriz de covarianza es nonsingular al$n\le2$$\lambda\in(0,\pi)$. Es singular para todo real $\lambda$ al $n\ge3$.

Definir $Y_1=X_1,\ Y_{2k}=X_{2k}$$Y_{2k+1}=X_{2k+1}+X_{2k-1}$$k=1,2,\ldots$. Es decir, $$ \mathbf{Y}=\begin{pmatrix}Y_1\\Y_2\\Y_3\\ \vdots\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ 0&1\\ 1&0&1\\ &0&0&1\\ &&1&0&1\\ &&&\ddots&\ddots&\ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X_1\\X_2\\X_3\\ \vdots\end{pmatrix} =P\,\mathbf{X}\ \text{(decir)}. $$ A partir de la relación de $X_{n+1}=2X_n\cos\lambda-X_{n-1}$, obtenemos $Y_{2k+1}=(2\cos\lambda) Y_{2k}$. Por lo tanto $E(Y_{2k+1}Y_i)=(2\cos\lambda)\,E(Y_{2k}Y_i)$, es decir, el $(2k+1)$-ésima fila de la matriz de covarianza $E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T)$ es una constante en varias de las $2k$-ésima fila para cada $k$. Por lo tanto $E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T)$ es singular. Sin embargo,$E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T)=P\,E(\mathbf{X}\mathbf{X}^T)\,P^T$. Por lo $E(\mathbf{X}\mathbf{X}^T)$ es también en singular. (Usando el mismo argumento, de hecho se puede demostrar que la matriz de covarianza de $\mathbf{X}$ tiene rango 2.)

Answer 3

Hmm, si usted se imagina que su describió las condiciones en el espacio multidimensional, donde las relaciones entre los vectores son descritos por el mismo múltiplo de un ángulo $\lambda$, de tal manera que
$\cos(X_0,X_1)=\cos(X_1,X_2)=\cos(X_k,X_{k+1})=\cos(\lambda)$
y los ángulos entre los vectores, cuyo índice se diferencia por 2, tiene el doble valor de $2 \lambda$ tal que
$\cos(X_0,X_2)=\cos(X_1,X_3)=\cos(X_k,X_{k+2})=\cos(2 \lambda)$,
y que los vectores, cuyo índice se diferencia por 3 , tienen el triple de ángulo, a continuación, parece obvio, que todos los que los vectores que tienen que poner en un plano en que espacio multidimensional...

Sería mejor que se pueda imaginar, si no mirar el conjunto de los cosenos pero en el set de arco-los cosenos, eso significa que los verdaderos valores de los ángulos - entonces es fácil ver que los tres vectores del mismo origen con los siguientes ángulos entre ellos: $\operatorname{angle}(X_0,X_1)=\lambda$, $\operatorname{angle}(X_1,X_2)=\lambda$, $\operatorname{angle}(X_0,X_2)=2\lambda$, todos debemos sentar en un avión (y eso, y cómo esto es extensible a más de vectores con el mismo patrón): la dimensionalidad del espacio abarcado por el $X$-variables es 2 y debido a que el rango de la covarianza de la matriz de ist de la dimensionalidad de la clasificación de la covarianza de la matriz es también 2 .