Como dice el título, estoy buscando el último $500$ dígitos de $2015!-1$. Supongo que es una repetición de ceros desde el factorial, por lo que el resultado final es un montón de $9$-s, pero no puedo formular una solución en forma matemática. Sé que $201$ ceros vienen de $10$-s de allí, también, $202$ de la $5$-s que se multiplican por un número par, $20$ extra de la $100$s, $2$ más de la $1000$-s, pero aún me faltan un par.
Respuestas
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Hay 403 números entre el 1 y el 2015 son divisibles por 5. No todas ellas contribuyen sólo un factor de 5.
Los múltiplos de 25 contribuyen dos factores de 5 (hay 80). Ya tenemos 483 factores de 5.
Más de 16 números son divisibles entre 125 y contribuyen otro factor de 5. Ahora estamos hasta 499 factores de 5.
Finalmente, los múltiplos de 625 contribuir otro factor, y hay 3 números de este tipo. Así tenemos, al menos, 502 factores de 5 en 2015!. (Hay, de hecho, exactamente 502 factores, pero no es lo importante aquí).
No hay escasez de los factores de la 2, que ocurren con más frecuencia que los factores de 5. Así que sabemos que $10^{502}$ divide 2015!. Creo que usted sabe qué hacer de aquí!
Anthony Shaw
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Como se ha señalado por user236182, de Legendre de la Fórmula, probado en $(3)$ de esta respuesta, dice que para cualquier prime $p$, el número de factores de $p$ $n!$ es $$ \frac{n-\sigma_p(n)}{p-1} $$ donde $\sigma_p(n)$ es la suma de los dígitos en la base-$p$ representación de $n$.
Desde $2015_{\text{ten}}=31030_{\text{five}}$, la suma de la base $5$ dígitos es $7$ por lo que el número de facultades de $5$ $2015!$ es $$ \frac{2015-7}{5-1}=502 $$ Hay más factores de $2$ hay $502$ ceros finales para $2015!$. Por lo tanto, la última $500$ dígitos de $2015!-1$ son todos los nueves.
barak manos
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La fórmula siguiente indica el número de veces que un primer factor de $p$ aparece en $n!$:
$$C_{n}(p)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$$
Desde $\lfloor\log_{\color\green{2}}2015\rfloor=\color\red{10}$:
$$C_{2015}(\color\green{2})=\sum\limits_{k=1}^{\color\red{10}}\left\lfloor\frac{2015}{\color\green{2}^k}\right\rfloor=2005$$
Desde $\lfloor\log_{\color\green{5}}2015\rfloor=\color\red{4}$:
$$C_{2015}(\color\green{5})=\sum\limits_{k=1}^{\color\red{4}}\left\lfloor\frac{2015}{\color\green{5}^k}\right\rfloor=502$$
Deje $Z_{n}$ denotar el número de ceros a la derecha en la representación decimal de $n!$:
$$Z_{n}=\min\{C_{n}(2),C_{n}(5)\}$$
Por lo $Z_{2015}=\min\{2005,502\}=502$, y por lo tanto $2015!$ termina con $502$ ceros.
Desde $2015!$ termina con $502$ ceros, la última $502$ dígitos de $2015!-1$ son todos los nueves.
