Dejemos que $M$ ser algo $A$ -módulo y $f \in A$ . ¿Por qué tenemos un isomorfismo $$\varinjlim_n \hom_A(f^n A,M) \cong M_f \text{ ?}$$ Antecedentes . Dejemos que $X$ sea un esquema, $U$ un subesquema abierto, y $F,G$ láminas cuasi-coherentes en $X$ . Existe un homomorfismo canónico $$\varinjlim_{J \subseteq \mathcal{O}_X , J|_{U} = \mathcal{O}_U} \hom_{\mathcal{O}_X}(JF,G) \to \hom_{\mathcal{O}_U}(F|_U,G|_U).$$ Deligne ha demostrado que se trata de un isomorfismo cuando $X$ es noetheriano y $F$ es de tipo finito (véase EGA I (1970), Prop. 6.9.17). En particular, tenemos la siguiente descripción explícita de la gavilla cuasi-coherente $\tilde{M}$ en $\mathrm{Spec}(A)$ para un anillo noetheriano $A$ y algunos $A$ -Módulo $M$ : $$\tilde{M}(U) = \varinjlim_{J \subseteq A, \tilde{J}|_U = \mathcal{O}_U} \hom_A(J,M)$$ Tenga en cuenta que, cuando $U$ es el complemento de $V(I)$ la condición $\tilde{J}|_U = \mathcal{O}_U$ significa $I \subseteq \sqrt{J}$ o, por el contrario $I^n \subseteq J$ para algunos $n$ . Esto da una fórmula aún más explícita $$\tilde{M}(\mathrm{Spec}(A) \setminus V(I)) = \varinjlim_n \hom_A(I^n,M).$$ En el papel "Secciones de gavillas cuasi-coherentes" se afirma que esta fórmula también es válida cuando $U$ es un subconjunto básico-abierto, es decir $I$ es principal y $A$ no se supone que sea noeteriana. Pero no puedo demostrarlo. El colímite se convierte en $$\cong \varinjlim_n ~\hom_A(f^n A,M) \cong \varinjlim_n ~\{m \in M : \mathrm{Ann}(f^n) \subseteq \mathrm{Ann}(m)\}.$$ Los mapas de transición se multiplican con $f$ . Este colímite tiene una inyección canónica a $\varinjlim_n ~ M \cong M_f = \tilde{M}(D(f))$ . Pero no veo por qué debería ser subjetivo. Incluso cuando $A$ es noetheriano, no veo un argumento directo, sin repetir la prueba de Deligne (que utiliza esencialmente el Lemma de Artin-Rees).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto se resuelve para ideales finitamente generados $I \subset A$ en Etiqueta del lema 01PM con un ejemplo contrario a su pregunta cuando $I$ es generado por $2$ elementos en Ejemplo Etiqueta 01PN . Además, allí se demuestra que lo correcto es mirar el sistema de módulos $\text{Hom}_A(I^n, M/M_n)$ donde $M_n = M[I^n]$ es el $I^n$ -torsión de $M$ .
Para obtener un ejemplo de contador para un elemento, podríamos probar el anillo $A = k[x, y, z_1, z_2, \ldots]/(x^i z_i)$ y el módulo $M = A$ . Entonces el elemento $y/x$ de $M_x = \widetilde{M}(D(x))$ no parece estar en la imagen. Es decir, cualquier mapa correspondiente $I^n = (x^n) \to A$ debe enviar $x^n$ a $x^{n - 1} y$ Creo que Pero $x^n$ es aniquilado por $z_n$ mientras que $x^{n - 1} y$ no lo es.
¿OK? Intentaré añadir esto al ejemplo del proyecto Stacks.
