Un (o no tanto?) simple cálculo problema

Question

Yo soy la ayudante de un primer semestre en el curso de cálculo, y el profesor ha dado a los estudiantes el siguiente problema:

Encontrar los puntos en la curva de $xy=\sin(x+y)$ que tiene una tangente vertical de la línea.

Aquí está una foto de la curva:

Mi intento de resolver este problema me llevó a la búsqueda de los puntos sobre la curva, que también satisfacer $x=\cos(x+y)$, pero no puedo averiguar cómo resolver simultáneamente las ecuaciones (sin resultante a los métodos numéricos, que los estudiantes no se supone que saben). Hay algo que me falta, o que el profesor da a los estudiantes un problema más difícil de lo que había pensado?

Edit: todavía estoy buscando una solución que no requiere de métodos numéricos, o la prueba de que tal solución no existe.

Answer 1

Consideremos $x$ como una función de la $y$. Tenemos que encontrar puntos de $\left(x, y\right)$ donde $x' = 0$. Que se obtiene de la ecuación $x = \cos\left(x + y\right)$. Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones: $$ \left\{% \begin{array}{rcl} xy & = & \sin\left(x + y\right) \\ x & = & \cos\left(x + y\right) \end{array}\right. $$

A partir de estas ecuaciones obtenemos $\left\vert xy \right\vert \leq 1$ y $\left\vert x \right\vert \leq 1$. Además, hemos $x^{2}\left(y^{2} + 1\right) = 1$. El último identidad está satisfecho por la elección $x = \cos\left(\theta\right)$ $y = \tan\left(\theta\right)$ . Que significa

$$ \phi \equiv \theta + 2n\pi = \cos\left(\theta\right) + \tan\left(\theta\right)\,, \qquad n \in {\mathbb Z} $$

Hemos reducido el problema a una variable del problema: $$ \cos^{2}\left(\phi\right) - \phi\cos\left(\phi\right) + \sin\left(\phi\right) = 0 \quad\mbox{con}\quad \left\vert% \begin{array}{rcl} \,\,\, x & = & \cos\left(\phi\right) \\ \,\,\, y & = & \tan\left(\phi\right) \end{array}\right. $$

Las soluciones de esta ecuación requiere $$ \sin\left(\phi\right) \leq {\phi^{2} \over 4} $$

A continuación, podemos ver las parcelas de $\cos^{2}\left(\phi\right) - \phi\cos\left(\phi\right) + \sin\left(\phi\right)$. Tenemos que elegir las raíces que son consistentes con las ecuaciones originales ya que tenemos que prestar atención a la solución de los signos. Por ejemplo, la primera raíz es positiva $\phi \approx 4,50321873398481\ldots$ que los rendimientos de $x \approx -0.207648303505316\ldots$ y $y \approx 4,710867037490116\ldots$.

Answer 2

(no es la solución completa, pero quería agregar un gráfico)
Sospecho que es mucho más difícil cuestión de la intención.

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Por diferenciación implícita, $x \frac{dy}{dx} + y = \cos( x+y) ( 1 + \frac{dy}{dx} ) $.
Esto le da a $\frac{dy}{dx} = \frac{-y + \cos(x+y) } { x - \cos (x+y) }$.
Queremos una tangente vertical, lo que significa que el denominador es 0, por lo $x = \cos (x+y)$.
Dividiendo la primera ecuación, obtenemos $ y = \tan (x+y)$.
En realidad, hay una infinidad de soluciones, (al menos) 1 para cada una de las $ n\pi < x+y < (n+1) \pi$.

La línea azul es acotada entre $-1 $ $1$ y rebota hacia atrás y adelante. Las líneas rojas son similares a una inclinado $\tan \theta$ gráfico.