Infinito - una simple pregunta

Question

Esta es una pregunta simple, y tal vez estúpida:

¿Es esto cierto?

$\infty < 1000\cdot\infty$ ?

Answer 1

Definitivamente no es simple ni estúpido.

Se oyen muchas cosas flotando por ahí $\infty$ - Algunas son verdaderas, otras falsas, algunas puramente conjeturales, otras más filosóficas que matemáticas, pero casi todas están sujetas al mismo defecto: no dicen realmente qué es el infinito es . Y es que no es una pregunta fácil de responder. Cuando alguien dice "es $\infty = \infty + 1$ ?", la única respuesta correcta y razonable es "¿qué quieres decir con $\infty$ ?". Pero, por supuesto, la naturaleza de $\infty$ es tal que cualquiera que sepa lo que quieren decir con $\infty$ conoce la respuesta a estas preguntas. Así que aquí hay algunos ejemplos de lo que $\infty$ puede y todo variará según el contexto.

1. $\infty$ podría ser sólo un símbolo. A menudo la gente modifica el plano complejo añadiendo un punto extra "en $\infty$ ", es decir, infinitamente lejos de $0$ en cualquier dirección. Esto parece una cosa de impar (porque el $\infty$ que se obtiene al salir en una dirección es la misma que la que se obtiene en cualquier otra dirección), pero es sorprendentemente útil. Tan útil, de hecho, que tiene su propio nombre: compactación . Te da una forma muy geométrica de interpretar las cosas llamada Mapas de Möbius que son útiles en todas partes, desde la teoría de los números hasta la geometría, pero que sin esta interpretación tendrían un aspecto horrible. Incluso son útiles para ver lo que ocurre en algunos cuadros de Escher. Esta tiene una respuesta sencilla: cosas como $\infty+1$ , $1000\times \infty$ , $2^\infty$ etc. no tienen sentido .

2. $\infty$ puede ser un intento de replicar un "número arbitrariamente grande". Por ejemplo, se podría pegar un punto extra llamado $+\infty$ a la derecha de la línea real, y una llamada $-\infty$ a la izquierda. En la práctica, no hacemos esto, sino que invocamos algo llamado límites, pero la respuesta, como arriba, es que no tiene sentido .

3. Podría contar el tamaño de un conjunto. Si se toma un conjunto, por ejemplo $\{a,b,c\}$ Si el conjunto es infinito, se sabe que tiene tres elementos al emparejar cada elemento con un número (1, 2, 3, ...) hasta que se tiene que parar. Esto nos da una buena forma de determinar si un conjunto es infinito o no: cuenta los elementos hasta que tengas que parar, y si nunca paras, ¡es infinito! De forma más razonable, nos dice cuándo dos conjuntos tienen el mismo tamaño: si puedes emparejar sus elementos uno a uno, entonces tienen el mismo tamaño. Normalmente demostramos que $A$ y $B$ son del mismo tamaño eligiendo una función $f:A\to B$ que los empareja uno a uno, es decir, tiene una función inversa $f^{-1}:B\to A$ . Así que $\{0,1,2,\dots\}$ y $\{1,2,3,\dots\}$ son del mismo tamaño ( $f(x) = x+1$ ). Es importante, $\{1,2,3,\dots\}$ y $\{1000,2000,3000,\dots\}$ son del mismo tamaño ( $f(x) = 1000x$ ). Pero, obviamente, hay intuitivamente 1000 veces más elementos en el primer conjunto que en el segundo. Así que aquí $1000\times\infty = \infty$ y su respuesta es no .

4. Podría ser un ordinal. A primera vista, no parece que tenga sentido "contar más allá del infinito", y menos cuando se trata de conjuntos. Pero hay un contexto en el que se puede hacer riguroso. Consideremos la secuencia de puntos de la recta real 0,1, 0,11, 0,111, 0,1111, ... - esta cosa nunca termina, y claramente tiene infinitos puntos, con un punto límite en 0,111... = 1/9. ¿Qué pasa si pongo un punto más en 0,2? Entonces, viajando de izquierda a derecha, tenemos que pasar todo este límite infinito y todavía tenemos un punto extra. De alguna manera tenemos que tratar los puntos aislados y los puntos límite de forma diferente para que tengamos una forma de conseguir "pasar" un infinito, pero se puede comprobar que todo esto funciona de forma rigurosa, y da un sentido en el que $\infty$ y $\infty + 1$ puede ser diferente. (Problema: tuvimos que elegir una dirección para viajar, y como resultado de esto, la adición ahora no conmuta, así que $1 + \infty = \infty \neq \infty + 1$ !) En este contexto, la respuesta a su pregunta es sí .

Le recomiendo encarecidamente que lo busque en Wikipedia, o tal vez que lea el libro de Brian Clegg "Infinity" - esto puede darle algunas ideas de lo que pasa por la mente de un matemático cuando menciona $\infty$ .