Los que la función crece más rápido: $(n!)!$ o $((n-1)!)!(n-1)!^{n!}$?

Question

Por supuesto, puedo usar Stirling aproximación, pero para mí es muy interesante, que, si definimos $k = (n-1)!$, luego la izquierda de la función se $(nk)!$, y el de la derecha se $k! k^{n!}$. Yo no creo que sea una coincidencia. Parece, que no debe ser más inteligente solución para esto, aparte de Stirling aproximación.

Answer 1

Para $(nk)!$ tu factores se $1,2,3,\dots, k$$k+1, \dots, 2k,2k+1 \dots, k!$.

Para $k! k^{n!}$ tu factores se $1,2,3,\dots, k$ pero luego constante $k,\dots,k$.

Para cada factor de (nk)! es > o = a cada factor de k!k^(n!)

Answer 2

Tome $\log$ en ambos lados y el uso de la $\log {n!} = \Theta(n\log n)$. El primero de los términos se convierte en $\Theta(n!\log{(n!)})$, la segunda se convierte en $\Theta((n-1)!\log {(n-1)!}) + \Theta(n!\log{(n-1)!})$. Así que es obvio que los primeros términos crece más rápido que el segundo.