Cayendo a través de la rotación de la Tierra

Question

Suponga que usted estuviera de pie sobre la Tierra en rotación (no necesariamente Ecuador o en los polos) y, de repente, su cuerpo pierde la capacidad para evitar el esfuerzo de pasar a través de roca sólida.

Debido a la rotación de la tierra en la superficie es considerablemente por debajo de la velocidad de escape, usted podría deslizarse por debajo de la superficie de la tierra. Si la gravedad de la tierra fueron una consecuencia de un punto central de la misa, que tendría una órbita elíptica (en su mayoría) dentro de la tierra.

Con un planeta de densidad constante, la gravedad se siente metro es equivalente a pie en la superficie de una forma idéntica denso planeta con un radio igual a la distancia desde el centro. Así que efectivamente, como usted se cae de la gravedad de la experiencia disminuye.

1. ¿Cuál sería la forma de la trayectoria?

2. Cómo cerrar sería llegar al centro?

3. ¿Cuánto tiempo se tarda antes de su órbita trajo de vuelta a la superficie (suponiendo que no hay pérdidas y estacionaria planeta)?

4. ¿Qué complicaciones podría surgir a partir de que el planeta está en órbita alrededor de una estrella?

5. Puntos de bonificación para la búsqueda de dos conocidos lugares en la Tierra que puede viajar entre en una "órbita" la utilización de este método.

Answer 1

La fuerza de la experiencia es de la forma $\vec{F} = - Gmr\vec{u_r}$, y también sabemos que en la superficie, $r=R$$\vec{F}=- gm\vec{u_r}$, por lo que

$$\vec{F} = -gm\frac{r}{R}\vec{u_r}$$

Esta es una fuerza conservadora que puede ser derivado de un potencial

$$U = \frac{1}{2}gm\frac{r^2}{R}$$

Debido a que esta es una fuerza central, el momento angular se conserva, por lo $r^2 \dot{\theta} = L$, y si $\Omega$ es la velocidad de rotación de la tierra,

$$r^2 \dot{\theta} = R^2 \Omega$$

Y, por supuesto, hemos de conservación de la energía,

$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+\frac{1}{2}gm\frac{r^2}{R} = E$$

pero también sabemos que las condiciones iniciales, $r=R$, $\dot{\theta}=\Omega$, $\dot{r}=0$, así

$$E = \frac{1}{2}m(R^2\Omega^2)+\frac{1}{2}gmR$$

y conservación de la energía puede escribirse como

$$\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+g\frac{r^2}{R} = R^2\Omega^2+gR$$

y teniendo en cuenta la conservación del momento angular como

$$\dot{r}^2+ \frac{R^4 \Omega^2}{r^2}+g\frac{r^2}{R} = R^2\Omega^2+gR$$

Si establece $\dot{r} = 0$ y resolver para $r$, hay dos soluciones, que marca el anular de la región en la que el movimiento va a suceder. Uno es la obvia $r=R$, el otro sale a

$$r = \Omega R \sqrt{\frac{R}{g}}$$

que con la Tierra de los parámetros en el ecuador, sale a $r=374\ \mathrm{Km}$.

Puede reorganizar la ecuación de la energía como

$$\frac{dr}{\sqrt{R^2\Omega^2+gR - \frac{R^4 \Omega^2}{r^2}-g\frac{r^2}{R}}} = dt$$

que se puede integrar para obtener, probablemente, la implícita relación entre el$r$$t$, que se puede utilizar en la conservación del momento angular para obtener $\theta$ como una función de la $r$ y/o $t$.

He hecho que, numéricamente, y de nuevo, el punto en el Ecuador, se necesitarían alrededor de 21 minutos para llegar al punto más cercano a la centro de la Tierra, y 21 más para volver a la superficie.

Un buen resultado no entiendo de donde viene es que, en el punto mínimo, el ángulo de $\theta$ ha cambiado por $\pi / 2$, independientemente de cuál sea la velocidad de rotación es, por lo que siempre surgen en un punto opuesto a donde fue hacia abajo. Puesto que la Tierra está girando, no aparece en el punto antipodal, pero algunos $1175\ \mathrm{Km}$ a partir de ella.

Distancia desde el ecuador tendría una reducción de la $\Omega$, y el movimiento que va a suceder en un plano perpendicular al meridiano de ir a través de ese punto.

Answer 2

Este es un divertido tema de la mecánica clásica. Usted debe revisar este artículo: aquí Tiene un muy detallado análisis de cómo calcular el tiempo que tarda en caer a través de la tierra.

Answer 3

No creo que le saldría directamente opuesto. Esto es debido a que la Tierra tener la Luna orbitando a su alrededor. Hay mareas en las rocas a pensar demasiado.