La notación $\sum_{i_1,i_2,\dots , i_k}$ es solo corto la mano para las sumas iteradas $\sum_{i_1}$, $\sum_{i_2}, \dots , \sum_{i_k}$. Yo diría que (mi convenio) a partir de a $i_k$ y de continuar hacia el exterior a $i_1$:
$$ \sum_{i_1,i_2,\dots , i_k} A_{i_1,i_2,\dots , i_k}= \sum_{i_1}\bigl(\sum_{i_2} \dots \color{green}{\left[\sum_{i_k} A_{i_1,i_2,\dots , i_k}\right]} \cdots \bigr) $$
En particular, si denotamos $\color{green}{\sum_{i_k} A_{i_1,i_2,\dots , i_k} = A^1_{i_1,i_2,\dots , i_{k-1}}}$
$$ \sum_{i_1,i_2,\dots , i_k} A_{i_1,i_2,\dots , i_k}= \sum_{i_1}\bigl(\sum_{i_2} \dots \sum_{i_{k - 2}} \underbrace{\sum_{i_{k-1}} \color{green}{\left[A^1_{i_1,i_2,\dots , i_{k-1}}\right]}}_{\Large{A^2_{i_1,\dots ,i_{k - 3}, i_{k-2}}}} \cdots \bigr) $$
y así sucesivamente hasta que estamos
$\sum_{i_1,i_2,\dots , i_k} A_{i_1,i_2,\dots , i_k} =\sum_{i_1} A^{k-1}_{i_1} $.
Esta sería mi defecto interpretación de dicha expresión. Algunas preguntas obvias para preguntar:
¿cómo estoy seguro de que no fue hecho en un orden diferente, decir comenzando con $i_1$ y de continuar hacia el exterior hasta que finalmente terminamos con la suma de más de $i_k$?
espera, ¿incluso importar el orden de las sumatorias se toman? La versión más simple de esto es no $\sum_i (\sum_j A_{ij}) = \sum_j(\sum_i A_{ij})$ ?
Si la respuesta a (2.) no es, entonces, la respuesta a (1.) es que el orden de la suma no importa. Aquí, estamos asumiendo que (2.) se extiende a $k$-sumas. Pero es que claro, ya que siempre se puede romper
un $k$-en suma iterada $2$-resume, en otras palabras $\sum\limits_{i_1}\left(\sum\limits_{i_2,...,i_k}\right) = \sum\limits_{i_k}\left(\sum\limits_{i_1,...,i_{k - 1}}\right)$
Así, vamos a domicilio (2.). Para que sea fácil de entender veamos $n=2$:
$$ \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 A_{ij} = \sum_{i=1}^2 (A_{i1}+A_{i2}) = (A_{11}+A_{12})+(A_{21}+A_{22}). $$
Comparar:
$$ \sum_{i=j}^2\sum_{i=1}^2 A_{ij} = \sum_{j=1}^2 (A_{1j}+A_{2j}) = (A_{11}+A_{21})+(A_{12}+A_{22}). $$
Así como Hagen von Eitzen ha comentado, es sólo reorganización de paréntesis. Ahora, si estas sumatorias pasar a infinito límites superiores (de la serie), entonces no podemos reorganizar estas tan fácilmente. Algunas condiciones analíticas relativas a la homogeneidad de la convergencia debe ser cumplido. Pero, siempre y cuando las cantidades son finitos, se pueden reordenar.
Por cierto, si usted desea probar estas cosas cuidadosamente, usted necesitará una definición de la suma finita. Le recomiendo que $\sum_{i=1}^{1} A_i = A_1$$\sum_{i=1}^{n+1}A_i = A_{n+1}+\sum_{i=1}^{n}A_i$. La mayoría de los autores piensan que estas cosas son demasiado triviales para poner en los libros.
Tras el seguimiento:
I.) el superíndice de la notación en mi ejemplo es simplemente para poner de relieve la idea de que las sumatorias puede ser pensado como pasando de una en una. Es la misma idea que la integral iterada $\int_0^1 \int_{0}^{x}\int_0^{1-x-y} xydz \, dy \, dx$
integramos más de $z$ dejando $\int_0^1 \int_{0}^{x} \underbrace{[xy(1-x)-xy^2)]}_{\text{like} \ A_1} \, dy \, dx$
siguiente, integrar más de $y$ dejando $\int_0^1 \underbrace{[x\frac{x^2}{2}(1-x)-x\frac{x^3}{3})]}_{\text{like} \ A_2} \, dx$
finalmente nos quedamos con una integral en una variable $\int_0^1 \underbrace{[x\frac{x^2}{2}(1-x)-x\frac{x^3}{3})]}_{\text{like} \ A_2} \, dx = \frac{-1}{24} $
Mi idea era la de suprimir los índices de la suma de destacar que después de la suma es completar ese índice se ha ido por los sumarios que seguir. Como $z$ o $y$ se ha ido como repetimos la integral de adentro hacia afuera.
II.) escrito varias sumas como una suma? Bueno, supongo que la suma es sólo una adición de un número finito de términos así podemos colocar los posibles índices en un conjunto ordenado y etiqueta de los índices de decir $1$ $r$donde $r$ es el total de número de sumandos, a continuación, la suma iterada se convierte en $\sum_{j=1}^{r} B_j$. Sin embargo, no recomiendo este. El punto de escribir en varias sumas se encuentra tanto desde su origen natural compuesto de recapitulación de los procesos (por ejemplo, la suma finita que establece la integral doble) así como el agradable propiedad que se repite en las sumas que nos permiten explotar las simetrías entre ciertos subconjuntos de los sumandos $B_1, \dots B_r$. Por ejemplo, $\sum_{i,j} \epsilon_{ij} = 0$ ya que, por definición, $\epsilon_{ij}=-\epsilon_{ji}$ y así:
$$ S=\sum_{i,j} \epsilon_{ij} = -\sum_{i,j} \epsilon_{ji} =-\sum_{j,i} \epsilon_{ji} =-S $$
que muestra $S=0$.
III.) esto es más fácil, los puntos indican las muchas paréntesis no he escrito.
En respuesta a la Siguiente el seguimiento (2): que yo significaba para indicar que un múltiplo finito suma es solo la suma de un número finito de cosas. Por ejemplo,
$$ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 A_{ij} = \sum_{r=1}^9 B_r $$
siempre que definen $B_1 = A_{11}, B_2 = A_{12}, \dots , B_9 = A_{33}$. Esto no suele ser un buen paso ya que oculta cualquier agradable simetrías de los sumandos $A_{ij}$. Volviendo a mi comentario, para ser más pedante
\begin{align}
S &= \sum_i \sum_j \epsilon_{ij} \\
&= -\sum_i \sum_j \epsilon_{ji} \qquad \text{since %#%#%} \\
&= -\sum_j \sum_i \epsilon_{ji} \qquad \text{property of finite sums, can swap order}\\
&=-S
\end{align}
y por lo tanto $\epsilon_{ij} = -\epsilon_{ji}$.
