Como sabemos, el cuadrado del operador de inversión del tiempo es -1 actuando sobre el fermión y +1 sobre el bosón. Puedo demostrarlo considerando el operador de inversión del tiempo como 2 rotaciones alrededor de $y$ -multiplica el operador de conjugación compleja, pero esto requiere los vectores propios de $S_y$ para ser puramente imaginario en cualquier dimensión, lo cual es algo difícil de demostrar. Mi compañero de clase dijo que sólo hay que demostrarlo con una partícula de espín 1/2 y luego considerar la partícula de espín superior como una combinación de partículas de espín 1/2. La conclusión es evidente si su afirmación es cierta, pero me pregunto si es así o no.
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Robin Ekman
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La representación combinada de dos spin- $\frac 1 2$ partículas tiene dimensión $4$ ya que es el producto tensorial de dos representaciones bidimensionales. El espín $1$ La representación tiene la dimensión $3$ . Sin embargo, es un hecho conocido que $2\cdot 2 = 1 + 3 = 4$ . La dimensión del espín $0$ la representación es $1$ . Esto insinúa que, y de hecho, el hecho $\frac 1 2 \otimes \frac 1 2 = 0 \oplus 1$ , lo que significa que dos spin- $\frac 1 2$ partículas se combinan para hacer la suma directa de un espín $0$ y una partícula de espín $1$ de partículas.
Lo anterior es para el caso galileo. En el caso Lorentz, es decir, en la relatividad einsteiniana, es algo más limpio. Allí, el producto de un espín zurdo- $\frac 1 2$ y una partícula diestra [en la relatividad galileana no se distingue entre las dietas] hace la representación de 4 vectores. Sea $G$ sea el grupo correspondiente a las rotaciones espaciales, de acuerdo con alguna división particular del observador inercial entre el espacio y el tiempo. Entonces, bajo $G$ las tres componentes espaciales -según el mismo observador- se transforman como un 3-vector, es decir, como el espín galileano $1$ partícula, y la componente temporal es, por supuesto, invariante, es decir, un escalar, es decir, un espín $0$ de partículas. En los dos volúmenes de Penrose y Rindler se dan pruebas de lo anterior y se discuten ampliamente sus implicaciones, Espinores y espacio-tiempo .
Sandeep
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(No estoy seguro de entender cuál es la pregunta en realidad).
Sí es posible, si se ignora la parte orbital del estado que describe la posición relativa de los dos fermiones (o el momento relativo en una versión relativista esencialmente idéntica a mi respuesta).
El estado del sistema formado por el par de fermiones puede describirse en el espacio de Hilbert $$H = L^2(\mathbb R^3, d^3x)\otimes L^2(\mathbb R^3, d^3X) \otimes \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^2$$ Por encima de $\vec{x}$ describe la posición relativa de las dos partículas, $\vec{X}$ es el posición del centro de masa . Cada $\mathbb C^2$ apoya la observables de espín de la partícula correspondiente. Ahora $$C^2 \otimes \mathbb C^2 = \mathbb C^3 \oplus \mathbb C$$ donde el primer sumando del lado derecho es el subespacio de tripletes que abarcan los vectores propios de giro total con valor propio $1$ y el segundo complemento es el subespacio singlete que abarcan los vectores propios de giro total con valor propio $0$ .
La observación crucial es ahora que el subespacio de $H$ $$L^2(\mathbb R^3, d^3x)\otimes L^2(\mathbb R^3, d^3X) \otimes \mathbb C^3$$ es esencialmente una partícula con espín $1$ descrito por el centro de masa de las dos partículas siempre que ignoremos el primer factor $L^2(\mathbb R^3, d^3x)$ referido a los grados de libertad relativos y terminando con $$L^2(\mathbb R^3, d^3X) \otimes \mathbb C^3\:.$$ Este procedimiento (ignorar un factor del espacio de Hilbert) puede obtenerse mediante un rastro parcial que generalmente da lugar a estados mixtos aunque se parta de estados puros, pero no es muy importante aquí.
Resumiendo, un sistema de dos spin- $1/2$ fermiones se comporta como un espín- $1$ partícula, situada en el centro de masa del sistema, siempre que (a) el espín total del sistema esté definido y sea igual a $1$ y (b) ignoramos los grados de libertad orbitales relativos.
Vayamos a la operación de inversión de tiempo . En vista del teorema de Wigner debe ser representado por un operador unitario o antiunitario. Sin embargo, en cuanto el Hamiltoniano del sistema está acotado por debajo pero no por encima, debe ser representado por un operador antiunitario. La prueba es fácil. Así que aquí podemos suponer que la inversión temporal es antiunitaria. Otras propiedades que pueden justificarse físicamente son que los observables de posición son invariantes bajo la inversión del tiempo, pero el momento, el momento angular y el espín cambian de signo bajo la acción de la operación de inversión del tiempo.
A partir de estos supuestos se puede demostrar que, para un espín- $1/2$ partículas descritas en $$L^2(\mathbb R^3, d^3x)\otimes \mathbb C^2\:,$$ el operador de inversión del tiempo $U_{1/2}$ tiene la forma $$U_{1/2}= C' \otimes i\sigma_2 C$$ donde $C'$ y $C$ son las conjugaciones complejas estándar, las primeras de las funciones de onda de $L^2(\mathbb R^3, d^3x)$ y la última de vectores en $\mathbb C^2$ con respecto a la base canónica (la de los estados propios de $S_z= \sigma_3/2$ ).
Subrayo que podríamos añadir una fase $\eta$ frente a $U_{1/2}$ sin cambiar todos los resultados que voy a discutir y por lo tanto en lo sucesivo lo omito.
En particular, hemos comprobado que la operación de inversión del tiempo en la parte del espinor del $1/2$ es el operador anti unitario $$U^{(s)}_{1/2}= i\sigma_2 C\:.$$ Esto equivale a decir que $U^{(s)}_{1/2} = e^{i\pi \sigma_2/2} C$ como más o menos dice el OP (la "rotación" alrededor del $y$ eje es de $\pi$ no $2\pi$ !)
Así tenemos el resultado conocido que menciona el OP $$U_{1/2}U_{1/2}= C'C'\otimes i\sigma_2 Ci\sigma_2 C= I\otimes\sigma_2 \overline{\sigma_2} CC = - I \otimes \sigma_2\sigma_2 = -I\otimes I = -I\tag{1}$$
En cambio, cuando se considera dos tales partículas, la simetría de inversión del tiempo es el producto tensorial de dos simetrías de inversión del tiempo $$U= U_{1/2}\otimes U_{1/2}\:.$$ Utilizando (1) tenemos $$UU = (-I)(-I) = I$$
Obsérvese que el subespacio del triplete (incluyendo los grados de libertad orbitales de ambas partículas) es invariante bajo $U$ $$U(L^2(\mathbb R^3, d^3x)\otimes L^2(\mathbb R^3, d^3X) \otimes \mathbb C^3) \subset L^2(\mathbb R^3, d^3x)\otimes L^2(\mathbb R^3, d^3X) \otimes \mathbb C^3\:,$$ la prueba de esta invariancia se puede obtener por inspección directa, especialmente explotando las propiedades de conmutación de las matrices de Pauli, o simplemente notando que el espín total al cuadrado conmuta con $U$ . Si finalmente trazamos los grados de libertad orbitales relativos $\vec{x}$ terminamos con un operador antiunitario $U_1$ que describe la simetría de la inversión del tiempo en el espacio $$L^2(\mathbb R^3, d^3X) \otimes \mathbb C^3$$ que, como dijimos anteriormente, puede identificarse con el espacio de Hilbert de una partícula con espín $1$ cuya posición $\vec{X}$ es el del centro de masa del sistema. $$U_1 = C' \otimes (i \sigma_2 C\otimes i\sigma_2 C)|_{\mathbb C^3}$$ La forma explícita de $(i \sigma_2 C\otimes i\sigma_2C)|_{\mathbb C^3}$ no importa (aunque se puede calcular explícitamente), ya que sólo nos interesa $$U_1U_1 = C'C' \otimes (i \sigma_2 C\otimes i\sigma_2C)|_{\mathbb C^3} (i \sigma_2C \otimes i\sigma_2C)|_{\mathbb C^3}= I \otimes ((i \sigma_2C \otimes i\sigma_2C)\: (i \sigma_2 C\otimes i\sigma_2 C))|_{\mathbb C^3}$$ $$ = I\otimes (-I)\otimes (-I) = I$$ Así que falso spin- $1$ partículas construidas a partir de un par de spin- $1/2$ las partículas deben tener un operador de inversión del tiempo $T$ Satisfaciendo a $TT=I$ . Por lo tanto, podemos esperar que real spin- $1$ partículas disfrutan de la misma propiedad.
tparker
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Como han señalado las otras respuestas, se puede considerar una partícula de espín 1 como la proyección de dos partículas de espín 1/2 en el subespacio del triplete. Y, de hecho, esto no es sólo una identidad matemática, ¡es una técnica útil para resolver problemas reales! Por ejemplo, se utiliza para resolver el problema de Heisenberg de espín-1 Modelo AKLT que tiene muchas aplicaciones y generalizaciones, por ejemplo, la conjetura de Haldane, el superconductor topológico de la cadena de Kitaev, los estados de productos matriciales, etc.
rein
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