Símbolos de derivadas

Question

¿Cuál es el uso exacto de los símbolos $\partial$, $\delta$ y $\mathrm{d}$ en las derivadas en física? ¿Cómo son diferentes y cuándo se utilizan? Sería bueno resolver eso de una vez por todas.

$$\frac{\partial y}{\partial x}, \frac{\delta y}{\delta x}, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$$

• Por lo que sé, $\mathrm{d}$ se usa como un pequeño cambio infinitesimal (y supongo que la letra recta $\mathrm{d}$ es la notación habitual en lugar de la cursiva $d$, simplemente para diferenciarla de una variable).
• Por supuesto también tenemos el delta grande $\Delta$ para describir una diferencia finita (no despreciable).
• Y tengo una idea vaga de que $\partial$ se usa para derivadas parciales en el caso de variables tridimensionales, por ejemplo.
• Lo mismo ocurre con $\delta$, que habría jurado que era lo mismo que $\partial$ hasta que leí esta respuesta en Math.SE: https://math.stackexchange.com/q/317338/

Luego, para hacer la confusión total, noté una ecuación como $\delta Q=\mathrm{d}U+\delta W$ y leí en un libro de texto de física que:

El hecho de que la cantidad de calor [añadida entre dos estados] dependa de la trayectoria se indica por el símbolo $\delta$...

Entonces parece que $\delta$ significa algo más? El libro de texto continúa y dice que:

una función [como el cambio en la energía interna] se llama función de estado y su cambio se indica por el símbolo $\mathrm{d}$...

Aquí no estoy seguro de por qué $\mathrm d$ se refiere a una función de estado.

Entonces, para resumir: a nivel básico, ¿qué es $\delta$, $\partial$ y $\mathrm{d}$ exactamente, cuando estamos hablando de derivadas en física?

Adición

Especialmente al leer un proceso matemático en una ecuación física como este procedimiento:

$$\delta Q=\mathrm{d}U+p\mathrm{d}V \Rightarrow\\ Q=\Delta U+\int_1^2 p \mathrm{d}V$$

Parece que $\delta$ y $\mathrm{d}$ son lo mismo. ¿Una operación de integral lo maneja de la misma manera, aparentemente?

Answer 1

Por lo general:

• $\rm d$ denota la derivada total (a veces llamada la diferencial exacta): $$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}f(x,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$$ A veces también se denota como $$\frac{Df}{Dt},\,D_tf$$
• $\partial$ representa la derivada parcial (derivada de $f(x,y)$ con respecto a $x$ manteniendo $y$ constante). A veces se denota como $$f_{,x},\,f_x,\,\partial_xf$$
• $\delta$ es para pequeños cambios de una variable, por ejemplo minimizando la acción $$\delta S=0$$ Para diferencias más grandes, se utiliza $\Delta$, por ejemplo: $$\Delta y=y_2-y_1$$

NB: Estas definiciones no son necesariamente uniformes en todos los subcampos de la física, así que presta atención a la intención de los autores. Algunos contraejemplos (de muchos más):

• $D$ puede denotar la derivada direccional de una función multivariable $f$ en la dirección de $\mathbf{v}$: $$D_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) = \nabla_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) = \mathbf{v} \cdot \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial\mathbf{x}}$$
• Más generalmente, $D_tT$ puede usarse para denotar la derivada covariante de un campo tensorial $T$ a lo largo de una curva $\gamma(t)$: $$D_tT=\nabla_{\dot\gamma(t)}T$$
• $\delta$ también puede representar la derivada funcional: $$\delta F(\rho,\phi)=\int\frac{\delta F}{\delta\rho}(x)\delta\rho(x)\,dx$$
• El símbolo $\mathrm{d}$ puede denotar la derivada exterior, que actúa sobre formas diferenciales; en una forma $p$-form, $$\mathrm{d} \omega_p = \frac{1}{p!} \partial_{[a} \omega_{a_1 \dots a_p]} \mathrm{d}x^a \wedge \mathrm{d}x^{a_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{a_p}$$ que la transforma en una forma $(p+1)$-form, aunque los factores combinatorios pueden variar según la convención.
• El símbolo $\delta$ también puede denotar la diferencial inexacta, que se encuentra en la relación de termodinámica $${\rm d}U=\delta Q-\delta W$$ Esta relación muestra que el cambio de energía $\Delta U$ es independiente de la trayectoria (solo depende de los puntos finales de la integración), mientras que los cambios en calor y trabajo $\Delta Q=\int\delta Q$ y $\Delta W=\int\delta W$ dependen de la trayectoria porque no son funciones de estado.

Answer 2

Primero, quiero decir que diferentes personas utilizan diferentes notaciones y agradezco cualquier comentario. También siento como si estuviera a punto de entrar en un campo de minas.

Aquí la respuesta se compone con ejemplos de uso de $d$, $\partial$ y $\delta$.

Diría que para $d$

$dV \over dx$

sería la derivada total en una dimensión para $V(x)$ donde el potencial $V$ es una función de solo una variable, $x$.

Si $V$ es una función de dos o más variables, digamos $x$ e $y$, entonces tenemos $V(x,y)$ y cuando se diferencia con respecto a $x$ e $y obtenemos

$\partial V \over \partial x$ y $\partial V \over \partial y$

si diferenciamos de nuevo podemos obtener

$\partial^2 V \over \partial x^2$, $\partial^2 V \over \partial x\partial y$ y $\partial^2 V \over \partial y^2$ y así sucesivamente.

Finalmente, para $\delta$, diría que $\delta$ representa algo pequeño, pero no infinitesimal. Entonces, por ejemplo, si $y=x^2$ y aumentamos $x$ por una pequeña cantidad a $x + \delta x$ el valor de $y$ se convierte en $y + \delta y$ y podemos escribir

$$y + \delta y = (x + \delta x)^2 = x^2 + 2x\delta x + \delta x^2$$

ahora porque $y = x^2$ podemos simplificar esto para dar

$$\delta y = 2x\delta x + \delta x^2$$

y luego dividimos ambos lados por $\delta x$ para obtener

$${\delta y \over \delta x} = 2x + \delta x \approx 2x$$

Ahora, si hacemos que $\delta x$ sea infinitamente pequeño (o infinitesimal) lo escribimos como $dx$ y nuestra ecuación anterior se convierte en

$${d y \over d x} = 2x + d x = 2x$$

o

$${d y \over d x} = 2x$$

porque $dx$ es tan pequeño que es efectivamente cero.

Finalmente, algunos otros usos. En termodinámica a veces tenemos $dU$ o $TdS$ donde $d$ se entiende como 'una pequeña cantidad de'. La distinción entre $\delta$ y $d$ que describes en la pregunta no era familiar para mí, tiene sentido, sin embargo, ya que el autor quiere hacer la distinción entre cantidades dependientes de la ruta y cantidades independientes de la ruta, claramente en ese ejemplo tanto $d$ como $\delta$ son infinitesimales. En física experimental, $\delta$ puede usarse para representar el error experimental (o incertidumbre) en un valor por ejemplo $\lambda \pm \delta \lambda$ - esto concuerda con $\delta$ siendo pequeño, pero no infinitesimal.