¿Bajo qué condiciones el $(\frac{3}{p})(\frac{-1}{p})=1?$ Dos maneras, con diferentes resultados.

Question

Tengo un problema, los dos métodos, resultados diferentes. algo está mal.

Estoy tratando de encontrar bajo qué condiciones el símbolo de Legendre para $(\frac{3}{p})(\frac{-1}{p})=1$.

Primera Forma: $(\frac{3}{p})(\frac{-1}{p})=(\frac{3}{p})\cdot(-1)^{(p-1)/2}$. Para $p\equiv1\pmod4$, lo $(\frac{3}{p})=(\frac{p}{3})$ e es $1$ fib $p\equiv1\pmod3$$p\equiv1\pmod4$. De lo contrario, siento la $(\frac{3}{p})=-(\frac{p}{3})$, por lo que tiene que ser $p\equiv1\pmod3$, con el fin de obtener $-1\cdot -1 \cdot 1=1$. El teorema del resto Chino me dice que el $p\equiv1,7 \pmod{12}$.

Segunda forma (creo que es la problemática, pero sin embargo, yo no puedo ver lo que está mal): $$\left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{-1}{p}\right)=\left(\frac{3}{p}\right)\cdot(-1)^{(p-1)/2}=\left(\frac{p}{3}\right)(-1)^{((p-1)/2)\cdot((3-1)/2)}\cdot(-1)^{(p-1)/2}=\left(\frac{p}{3}\right),$$ this equals $1$ only for $p \equiv 1 \pmod 3$.

Lo que está mal con la segunda forma? Creo que es todo legal.

Muchas gracias!

Answer 1

No hay nada malo. La respuesta es que para un primer $p > 3$, $\left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{-1}{p} \right) = 1 \iff p \equiv 1 \pmod 3$. Tenga en cuenta que los posibles residuos de clases modulo $12$ primer $p > 3$ son los que son coprime a $12$, es decir, $1,5,7,11$. De estos los congruente a $1$ modulo $3$$1$$7$.

Permítanme darles una tercera manera de resolver este problema. Por un extraño prime $p$,$p^* = (-1)^{\frac{p-1}{2}} p$. A continuación, una declaración equivalente de la reciprocidad cuadrática es que para los distintos impares primos $p,q$,

$\left( \frac{p}{q} \right) = \left( \frac{q^*}{p} \right)$.

(Es cierto que, la comprobación de este es similar en naturaleza a lo que estás haciendo! El punto es que aunque esta es una fórmula que vale la pena probar y, a continuación, recordar.)

La aplicación de este con $q = 3$, obtenemos $\left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{-1}{p} \right) = \left( \frac{-3}{p} \right) = \left(\frac{p}{3} \right)$, $1$ fib $p \equiv 1 \pmod{3}$.

Answer 2

Son la misma cosa: $p\equiv 1, 7\pmod {12}$ es lo mismo que $p\equiv 1\pmod 3$ al $p$ es primo. Eso es debido a que $p\equiv 4,10\pmod {12}$ no es posible cuando se $p$ es primo.