Creo que el reclamo es un poco más complicado que eso. Por simplicidad, vamos a ver un polinomio cuadrático. Si las raíces son $r$$s$, e imponemos la condición de que el primer coeficiente de ser $1$, entonces el polinomio es
$$
(x-r)(x)=x^2-(r+s)x+rs=x^2+bx+c,
$$
con $b=-(r+s)$$c=rs$. Por lo que podemos encontrar $b$ $c$ si conocemos $r$$s$. El problema, sin embargo, es a la inversa: para encontrar$r$$s$$b$$c$. Para resolver esto, en general, significa para encontrar las funciones de $f$ $g$ tal que
$$
r=f(b,c),\qquad s=g(b,c).
$$
El problema es que esto es un poco paradójico de la demanda. Las expresiones para $b$ $c$ en términos de $r$ $s$ son simétricas en virtud de intercambio de $r$ $s$ (como deben ser, desde permuting las raíces no cambia el producto $(x-r)(x-s)$). Debido a la simetría entre el$r$$s$, ¿cómo puede la función de $f$ saber cual de $r$ $s$ se supone que debe ser el de encontrar?
Este problema es poner en relieve la idea de la creación $r$ $s$ en movimiento. Si $r$ $s$ moverse y, a continuación, volver a sus valores iniciales, pero con $r$ $s$ intercambiarse, $b$ $c$ regresarán a sus valores originales. Por lo tanto, $f(b,c)$ $g(b,c)$ parece volver a sus valores originales, que se $r$$s$. Pero esto parece estar equivocado: desde $r$ de moverse alrededor y terminó en $s$, parece que $f(b,c)$ debe ser igual a $s$ a finales de este movimiento, no $r$.
La resolución de la paradoja es que, en el análisis complejo, funciones pueden tener varias ramas. Por lo que el valor de la función $re^{i\theta}\mapsto\sqrt{r}e^{i\theta/2}$ no regresa a su valor original si $r$ se mantiene fijo (digamos a $1$) y $\theta$ varía de $0$$2\pi$, pero, en cambio, recoge un signo menos. Un segundo circuito en torno al origen devolver el valor al valor inicial.
Esto es exactamente lo que se necesita para permitir la $r$ $s$ a moverse de tal manera que $b$ $c$ terminan con sus valores originales, sino $f(b,c)$ $g(b,c)$ terminan de intercambio de valores. De hecho sabemos que la fórmula cuadrática hace uso de la función de $re^{i\theta}\mapsto\sqrt{r}e^{i\theta/2}$, que es lo que permite que esta magia a ocurrir.
En resumen, no es, en el análisis final, no hay problema con raíces no regresan a sus valores originales al mismo tiempo que los coeficientes del polinomio de hacer regresar a sus valores originales.
Entonces, ¿cómo hace la prueba en el trabajo de vídeo? Lo que se hace es tratar de construir muy especial de los caminos a fin de que, no sólo se $b$ $c$ de retorno a sus valores originales, pero cualquier tarea de fórmulas que uno podría proponer para $f(b,c)$ $g(b,c)$ regresarán a sus valores originales, mientras que al mismo tiempo $r$ $s$ intercambio de valores. ("Permitido fórmulas" significa las fórmulas que implican sólo la adopción de las raíces y el uso de las cuatro operaciones aritméticas.) Si esos caminos se podría encontrarse, entonces tendríamos una prueba por contradicción de que las fórmulas para $f(b,c)$ $g(b,c)$ no puede existir.
Nosotros, por supuesto, saber que esta estrategia debe fallar en el cuadrática caso, ya que la fórmula cuadrática, de hecho, existe. Pero es precisamente esta estrategia que funciona en el quintic caso. Mientras que en el cuadrática caso (y también en la cúbica y cuártica de los casos) cualquier ruta de las fuerzas de los valores de $f(b,c)$ $g(b,c)$ regresar a sus valores iniciales también termina obligando a $r$ $s$ a sus valores originales (en lugar de intercambio de ellos), en el caso de los cinco raíces, hay recorridos que permisibles fórmulas que expresan las raíces en términos de los coeficientes de, $g(b,c,d,e,f)$, $h(b,c,d,e,f)$, ..., están todos obligados a volver a sus valores originales, pero las raíces, $r$, $s$, ..., se permutan. Esto produce la prueba por contradicción.
Añadido: espero haber sido claro acerca de dos puntos en mi respuesta original: (1) la paradoja descrita en el párrafo que empieza "La cuestión es poner en relieve..." es sólo aparente; (2) que el párrafo no contiene la idea de la prueba del teorema de Abel, aunque la idea correcta es algo relacionado con la aparente paradoja de que se describen.
Entonces, ¿cuál es la aparente paradoja? Para hacer precisos de cómo las raíces se mueven, nos imaginamos funciones continuas $R(t)$, $S(t)$ de $t\in[0,1]$ tal que $R(0)=r$, $S(0)=s$, $R(1)=s$, $S(1)=r$. Deje que los coeficientes de la ecuación cuadrática ser $B(t)=-(R(t)+S(t))$, $C(t)=R(t)S(t)$. Estas son funciones continuas de $t$. Supongamos que nuestro hipotético fórmulas para que las raíces son tales que $f(B(0),C(0))=r$$g(B(0),C(0))=s$. La aparente paradoja es que dos diferentes líneas de razonamiento dar diferentes valores de $f(B(1),C(1))$.
Un argumento dice que $B(1)=B(0)$$C(1)=C(0)$, y por lo tanto $$
\begin{aligned}
f(B(1),C(1))=f(B(0),C(0))&=r,\\
g(B(1),C(1))=g(B(0),C(0))&=s.
\end{aligned}
$$
(Como se mencionó anteriormente, este argumento es realmente incorrecto.)
El otro argumento es que el $R(t)$ $S(t)$ cambiar continuamente con $t$, y por lo tanto para hacer $B(t)$, $C(t)$, $f(B(t),C(t))$, y $g(B(t),C(t))$. A partir de esto, llegamos a la conclusión de que, desde $f(B(0),C(0))=R(0)$, $f(B(t),C(t))$ sigue siendo igual a $R(t)$ durante todo el movimiento, y por lo tanto $f(B(1),C(1))=R(1)=s$. (Las raíces suelen permanecer un número finito de distancia a lo largo de su movimiento, por lo que la única manera de terminar con $f(B(1),C(1))=r$ es para una discontinua de salto que se produzca en algún momento, lo que no puede suceder.)
Si ambos argumentos habían sido correcta, tendríamos una prueba por contradicción de que la función de $f$ (e $g$) no puede existir. Pero desde el primer argumento es incorrecto, esto no prueba la inexistencia de $f$. De hecho, $f$ no existe en el cuadrática caso. Para demostrar la inexistencia de las funciones análogas en el quintic caso requiere un argumento elaborado, como se discutió anteriormente.
