Si $f \circ g = f$, demuestran que, a $f$ es una función constante.

Question

Supongamos $A$ es un conjunto no vacío y $f: A \rightarrow A$ y para todos $g:A \rightarrow A,$ $f \circ g = f$. Demostrar que $f$ es una función constante.

Este resultado parece obvio, pero me parece que no puede encontrar una manera de demostrarlo. El libro tengo este problema desde dejó entrever que el lector debe considerar qué sucedería si $g$ eran de una función constante. He considerado que el caso, y era fácil demostrar que $f$ es una función constante, pero no puedo encontrar ninguna manera de demostrarlo al $g$ es no una función constante. En este punto no estoy muy seguro de cómo abordar este problema. Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

La suposición es que el $f\circ g=f$ todos los $g:A\to A$. Por lo tanto, usted puede elegir cualquier $a_0\in A$ y deje $g:A\to A:a\mapsto a_0$ y saber que $$f(a)=f\big(g(a)\big)=f(a_0)$$ for all $un\en$. This already tells you that $f$ is constant: it assigns the value $f(a_0)$ to every $\en$. You don't need to consider any other functions $g:\$.

Answer 2

Si $A$ es de un elemento de conjunto, no hay nada que demostrar. Si hay dos objetos distintos $a$ $a'$ tal que $f(a)\ne f(a')$, vamos a $g$ ser cualquier función tal que $g(a)=g(a')$.

Answer 3

Supongamos que $|A| = 1$. A continuación, todas las funciones $f:A \to A$ son constantes.

Ahora supongamos que $|A| > 1$ (o infinito). Supongamos que $f$ no es constante. Para mis propósitos, digamos que $f(0) = 0$$f(1) = 1$, y que se nos vaya de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Pero supongamos que $g(0) = g(1) = 0$.

Entonces podemos ver que $f \circ g \neq f$.

Se puede generalizar este a su contexto?