Es la igualdad de $1^2+\cdots + 24^2 = 70^2$ sólo una coincidencia?

Question

He leído una pregunta (escrito en coreano) que la igualdad $$1^2+2^2+\cdots + 24^2 = 70^2$$ es sólo una coincidencia, o no. Es una relacionada con la integral de los puntos de la siguiente curva elíptica (?): $$y^2 = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x.$$

(Aviso, su determinante es $1/1296$.)

He oído que la búsqueda de la integral de puntos de un ellptic curva es muy difícil en general, así que mi primer objetivo es encontrar soluciones racionales de la misma. Sin embargo, no he de aprender de la teoría de los números así que no tengo idea de cómo encontrar puntos racionales de que.

¿Hay alguna idea para solucionar esto? Además, hay una idea para encontrar integral de los puntos de la misma? Me gustaría ser apreciado por su ayuda!

Answer 1

No es una coincidencia, sin duda. $70$ es una Pell número, por lo $2\cdot 70^2+1=99^2$, y algunas de las soluciones de

$$ 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = q^2 $$ puede ser derivada por la imposición de las que tanto $2n+1$ $\frac{n(n+1)}{6}$ son plazas: que conduce a una ecuación de Pell.

Answer 2

Sólo hay una solución(con la excepción de $1=1$). Hay una prueba de Mordell, el libro de Diophantine Ecuaciones. El problema se atribuye a Lucas:

con N > 1 es cuando N = 24 y M = 70. Esto se conoce como la bala de cañón problema, ya que puede ser visualizado como el problema de la toma de una plaza la disposición de las balas de cañón en el suelo y la construcción de una pirámide cuadrada fuera de ellos. No fue hasta 1918 que una prueba (utilizando elíptica funciones) fue encontrado para este hecho notable, que tiene relevancia para los el bosonic la teoría de cuerdas en 26 dimensiones.1 Más recientemente, primaria de las pruebas se han publicado.2

https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucas

Aquí hay una discusión y prueba por Bennett

Primaria de la prueba por Anglin

El hecho es de vital importancia en la historia de la Sanguijuela de Celosía, la historia de la finitos simples grupos, Monstruoso luz de la Luna y otras cosas que lindo. Consulte la página 130 en Ebeling Celosías y Códigos (segunda edición), voy a tratar de encontrar en SPLAG así. Sí la página 524 en la primera edición, capítulo de Lorenz de los Formularios para la Sanguijuela de Celosía.