Es cada medibles establecer una medida independiente del límite de abrir conjuntos de

Question

Mi pregunta principal es

Q1. Deje $B$ ser un Borel medible subconjunto de $\mathbb R$. Es hay una secuencia de bloques abiertos $U_n$ independiente de cualquier medida tal que para todos los Borel probabilidad de medidas de $\mu$ en $\mathbb R$, $\mu(B \Delta U_n) \to 0$?

Cualquier conjunto abierto es trivialmente una medida independiente del límite de bloques abiertos.

Cualquier conjunto cerrado es una intersección de una secuencia anidada de bloques abiertos y, por tanto, es una medida independiente del límite.

Me pregunto si Q1 puede ser contestada negativamente por mostrar que $\mathbb Q$ es un contra ejemplo.

Q1a. Es $\mathbb Q$ un contador de ejemplo?

Si $B$ es una medida independiente del límite de $U_n$ $1_B$ es un pointwise-límite de la secuencia de $1_{U_n}$ debido a la delta de Dirac medidas. Tal vez esto puede ser usado para mostrar que $\mathbb Q$ es un contador de ejemplo, pero no sé cómo.

Motivación: el último párrafo de la cuestión en http://mathoverflow.net/questions/167823/the-borel-sigma-algebra-of-the-set-of-probability-measures?rq=1

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero puede ser útil, sin embargo:

Como se señaló, es una condición necesaria que $\chi_{U_n}$ (la función característica/función de indicador de $U_n$) cumple $\chi_{U_n} \to \chi_B$ pointwise.

Pero por el contrario, si este es el caso, entonces

$$ \mu(B \Delta U_n) = \int |\chi_B - \chi_{U_n} | \ d\mu \a 0 $$

dominado por la convergencia (el integrando es dominado por $2$, que es integrable, porque $\mu$ es una medida finita).

Por lo tanto, lo que efectivamente están preguntando es si para cada conjunto de Borel $B$, hay alguna secuencia $(U_n)_n$ de abrir conjuntos con $\chi_{U_n} \to \chi_B$ pointwise.

Ahora tenga en cuenta que cada conjunto abierto $U$ cumple $\chi_U = \lim_n f_n$ pointwise para una adecuada secuencia $(f_n)_n$ de funciones continuas (básicamente, tome $U = \bigcup_n K_n$ $K_n$ compacto y $K_n \subset K_{n+1}$ y el uso (por ejemplo) Urysohns Lema para la construcción de $f_n \in C_c(U)$$f_n \equiv 1 $$K_n$).

Por lo tanto, cada functio $\chi_U$ es de Baire de la clase 1 (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function).

Así que si lo que están pidiendo es cierto, es que cada función del indicador de $\chi_B$ $B$ Borel sería de Baire clase (en la mayoría) de las dos.

Dudo mucho que esto es cierto, pero no han encontrado un explícito contraejemplo/fuente donde se indica.

EDIT: Además, el pointwise límite de $\chi_B = \chi_{U_n}$ implica que para $x \in B$,$\chi_{U_n}(x) \to 1$. Porque de $\chi_{U_n}(x) \in \{0,1\}$, esto da lugar a un $n_x \in \Bbb{N}$ $\chi_{U_n}(x) = 1$ todos los $n \geq n_x$ y, por tanto,$x \in \bigcap_{n\geq n_x} U_n$. Por lo tanto,

$$ x \in \bigcup_{k \geq 1}\bigcap_{n \geq k} U_n. $$

Un argumento similar muestra que si $x \notin \bigcup_{k} \bigcap_{n \geq k} U_n$,$x \notin B$. Por lo tanto,

$$ B = \bigcup_{k \geq 1} \bigcap_{n \geq k}U_n, $$

lo que implica que $B$$G_{\delta, \sigma}$, o (otros notación, la misma declaración) $\Sigma_3^0$ (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy y http://en.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4_set para la notación utilizada aquí).

El artículo http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy#Boldface_Borel_hierarchy reclamaciones (el último inciso del párrafo):

Si $X$ es un incontable polaco espacio, se puede demostrar que $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ no está contenido en $\mathbf{\Pi}^0_\alpha$ cualquier $\alpha < \omega_1$, así que la jerarquía no se contraiga.

Esto implica que no todo conjunto de Borel es una $G_{\delta, \sigma}$. Por lo tanto, su afirmación es falsa.

Answer 2

Puedo enfocar PhoemueX muy bonita respuesta un poco. En particular, sí, $\mathbb{Q}$ es un contraejemplo.

Está bastante en derecho de que, si un conjunto $B$ es la medida independiente del límite de una secuencia de conjuntos de $A_n$, debemos tener $1_{A_n} \to 1_B$ pointwise. En particular, como PhoemueX dice, debemos tener $B = \bigcup_{k \ge 1} \bigcap_{n \ge k} A_n$. Así que si $A_n = U_n$ están abiertas, a continuación, $B$ debe $G_{\delta,\sigma}$.

Pero podemos decir más: también debe ser que $B = \bigcap_{k \ge 1} \bigcup_{n \ge 1} A_n$. De hecho, es un buen poco de ejercicio para mostrar que para cualquier secuencia de conjuntos de $A_n$, tenemos $$\limsup_{n \to \infty} 1_{A_n} = 1_{\limsup A_n}, \qquad \liminf_{n \to \infty} 1_{A_n} = 1_{\liminf A_n}$$ donde $$\limsup A_n := \bigcap_{k \ge 1} \bigcup_{n \ge k} A_n, \qquad \liminf A_n := \bigcup_{k \ge 1} \bigcap_{n \ge k} A_n.$$ Así, en particular, si $1_B = \lim_{n \to \infty} 1_{A_n}$ pointwise, entonces tenemos $1_B = \limsup 1_{A_n} = \liminf 1_{A_n}$ y, por tanto,$B = \limsup A_n = \liminf A_n$.

Y al $A_n = U_n$ están abiertas, a continuación, $\limsup U_n$ se $G_\delta$. Así, para que un conjunto a ser una medida independiente del límite de abrir los conjuntos, debe ser $G_\delta$$G_{\delta,\sigma}$.

Sin embargo, $\mathbb{Q}$ no $G_\delta$. Desde $\mathbb{Q}$ es denso, si se $G_\delta$ sería un denso $G_\delta$, o en otras palabras comeager. Pero desde $\mathbb{Q}$ es contable, es también escasa. Esto contradice la categoría de Baire teorema: $\mathbb{R}$ es no pobre, por lo que ningún subconjunto de $\mathbb{R}$ puede ser al mismo tiempo escaso y comeager.