¡Eres Johnny Depp 2!

Question

Una ampliación de esta pregunta se repite a continuación.

A saquear, matar y hundir un barco. El botín asciende a 1000 monedas monedas.

A Tú, como capitán de la banda, tienes que proponer un plan de distribución (quién se queda con qué). ¿Cuál es tu propuesta?

Ten en cuenta que este grupo es muy democrático. Si tu propuesta es aceptada por la mitad del grupo, entonces todos se adhieren a ella. Sin embargo, si la gente siente que estás siendo codicioso, y menos de la mitad de la banda está de acuerdo con su propuesta, entonces te matan, y luego su primer compañero llega a hacer una propuesta. Y así sucesivamente en orden decreciente de jerarquía/senioridad.

Estos piratas están descontentos con la mala definición de la votación democrática y ahora insisten en que la votación debe realizarse por una clara mayoría y que ¡el voto es obligatorio! Estos son piratas sanguinarios así que la vida es barata. Concretamente vale 1 moneda por lo que los criterios de los piratas para aceptar una propuesta son (por orden)

1. No mueren
2. Les hace ganar más dinero
3. Les permite matar a la mayor cantidad de piratas

¿Cómo cambia esto el resultado?

Para $n$ piratas, que $P_1$ ser el último pirata, $P_2$ será el penúltimo y así sucesivamente hasta $P_n$ que es el líder (¿temporal?).

1. Para $n=1$ , $P_1$ se lleva todo el dinero.
2. Para $n=2$ , $P_2$ es hombre muerto desde que $P_1$ puede votar no, matar $P_2$ Y conseguir todo el dinero.
3. Para $n=3$ , $P_3$ puede contar con $P_2$ ya que si vota no va a morir.
4. Para $n=4$ ?

Publicaré una respuesta después del fin de semana si nadie más lo ha hecho.

Answer 1

Supuestos:

1. Los piratas son racionales, codiciosos, y sediento de sangre.
2. Si el jefe pirata tiene múltiples propuestas en las que se maximiza su beneficio, va a elegir entre ellos al azar, con un uniforme de la distribución de probabilidad.
3. Los dos primeros elementos de esta lista son de conocimiento común entre los piratas.

Notación:

Deje $G$ el número de monedas de oro. Una propuesta en la que $P_i$ recibe $g_i$ monedas de oro será denotado por $(g_n,\ldots,g_1),$ donde $P_n$ es el más alto de piratas.

Caso $n=4$:

$P_4$ debe obtener el apoyo de otros dos piratas para obtener una clara mayoría. Para el caso $n=3$, $P_1$ y $P_2$ recibir nada, por lo que una propuesta de $(G-2,0,1,1)$ es aceptado.

Caso $n\ge 5$

Una propuesta de $(G+1-2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor,0,1,g_{n-3},g_{n-4},\ldots,g_1)$ es aceptada, donde por $i=1,2,\ldots,n-3$, exactamente $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1$ de la $g_i$'s $2$, y el resto se $0$. En primer lugar, observe que por supuesto $2$$i=1,2,\ldots,n-3$, el valor esperado de la propuesta de $P_i$ es

$$E_n=\frac{2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-2}{n-3}=\begin{cases}1&\text{if $n$ is odd}\\[.1in]\frac{n-2}{n-3}&\text{if $n$ is even}\end{cases}$$

Lo más importante es que el$1\le E_n<2$$n\ge 5$.

Se demuestra que esta propuesta es aceptada por inducción. Para el caso de $n=5$, las dos propuestas son $(G-3,0,1,2,0)$$(G-3,0,1,0,2)$. Comparando con el caso de $n=4$, vemos que $P_5$, $P_3,$ y $P_2$ votará a favor de la primera propuesta, mientras que $P_5$, $P_3,$ y $P_1$ votará a favor de la segunda propuesta.

Supongamos ahora que la propuesta tiene por $n-1$ piratas, y que no se $n$ piratas. $P_{n-2}$ recibe $0$ monedas de oro en el caso de $n-1$ piratas, por lo que votará a favor de la propuesta. Desde $1\le E_n<2$, cualquier pirata de $\{P_1,\ldots,P_{n-3}\}$ va a votar por una propuesta en la que él recibe, al menos, $2$ monedas, y va a votar en contra de una propuesta en la que recibe menos de $2$ monedas. Por lo tanto, exactamente $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1$ de los piratas $P_1,\ldots,P_{n-3}$ votar por la propuesta.

Recordar que $P_n$ votará a favor de la propuesta, que hace que $1+1+\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1=1+\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ de los votos para la propuesta, por lo que pasa.

Para el caso de $n=9$ y $G=1000$, $P_9$ recibe $993$ monedas.

Comparando esto con el resultado de la primera pregunta, parece que el nuevo sistema de votación que se requiere que el $P_n$ dar exactamente $2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor-1$ extra de monedas de oro ($n\ge 5$).

Editar

Si, en lugar de la asunción $2$, asumimos que el jefe pirata elige entre varias posibles propuestas que maximizar sus beneficios, recompensando a la antigüedad, a continuación, una propuesta de $(G-1-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor,0,1,2,0,1,0,1,\ldots,\frac{1+(-1)^n}{2})$ será aceptado. La prueba es similar a la inducción de arriba. En el caso de $n=9$$G=1000$, podemos ver que $P_9$ recibe $995$ monedas de oro.

Answer 2

En el caso de 1 pirata, no hay debate.

Si hay 2, entonces el n1 obtiene todo el dinero, n2 obtiene ninguno. Porque si n2 propone nada menos, n1 no estarán de acuerdo, de ahí la propuesta de no obtener una clara mayoría, por lo tanto n2 va a morir y n1 conseguirá todo, sin embargo. (1000,0)

Si hay 3 piratas, entonces n3 sólo tiene que dar n2 1 moneda para comprar su lealtad. n1 va sin un centavo. (0,1,999)

Si hay 4 piratas, luego n4 tiene que comprar la lealtad de los 2 piratas. Él puede dar a la moneda de 1 a n1. Que fácil. A continuación, se pueden dar 2 monedas para n2 y nada n3 (1,2,0,997)

5 piratas (2,0,1,0,997)

6 piratas (0,1,2,1,0,996)

7 piratas (1,2,0,0,1,0,996) O (1,0,0,2,1,0,996) (yup, consigue sucio)

8 piratas si 7 pirata acuerdo fue (1,2,0,0,1,0,996) entonces (2,0,1,1,0,1,0,995) O (0,0,1,1,2,1,0,995)
si 7 pirata acuerdo fue (1,0,0,2,1,0,996) entonces (2,1,1,0,0,1,0,995) O (0,1,1,0,2,1,0,995)

9 piratas si 8 pirata acuerdo fue (2,0,1,1,0,1,0,995) entonces (0,1,2,0,1,0,1,0,995) O (0,1,0,2,1,0,1,0,995) O (0,1,0,0,1,2,1,0,995)
si 8 pirata acuerdo fue (0,0,1,1,2,1,0,995) entonces (1,1,2,0,0,0,1,0,995) O (1,1,0,2,0,0,1,0,995) O (1,1,0,0,0,2,1,0,995)
si 8 pirata acuerdo fue (2,1,1,0,0,1,0,995) entonces (0,2,0,1,1,0,1,0,995) O (0,0,2,1,1,0,1,0,995) O (0,0,0,1,1,2,1,0,995)
si 8 pirata acuerdo fue (0,1,1,0,2,1,0,995) entonces (1,2,0,1,0,0,1,0,995) O (1,0,2,1,0,0,1,0,995) O (1,0,0,1,0,2,1,0,995)

Por tanto, hay varias propuestas (permutaciones) que trabajan (la pregunta es que el buscador se acostó en la propuesta, no sólo calcular el número de monedas de el capitán consigue).

Pero si nos fijamos un poco más de cerca, ¿qué significa esto?

Me alegro de que te pidió.

7 piratas paso es crucial. Por primera vez, nos da 2 propuestas que puede pasar.

Si hay 8 piratas, entonces no sé cual de las dos propuestas se realizará si matan a su capitán. Incluso si ellos creen que el Primer Mate al azar una de las dos propuestas, sus posibles resultados pueden ser expresados como valores esperados: (1,1,0,1,1,0,996)

De hecho, hay un argumento que tanto n2 y n4 son optimistas y que cada uno ve sus 7 pirata resultados para ser aprovechado como 2 monedas.

Significado de los resultados a ser superado en un 8 pirata grupo (1,2,0,2,1,0,994)

Así que eso es lo que el Capitán debe proponer (2,0,1,0,2,1,0,994)

Lo que significa que, en el caso de 9 de piratas de la distribución (0,1,2,1,0,0,1,0,995) O (0,1,0,1,0,2,1,0,995)