Me pregunto que, consideran que existen $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas. Podemos representar como $AX=B$. Deje $L$ es la inversa de a $A$ por lo tanto $LA=I$. De nuevo de $AX=B$, obtenemos $LAX=LB$ implica $X=LB$. Hasta que no tengo ningún problema, pero de $X=LB$, multiplicando por $A$ obtenemos $AX=ALB$ implica $B=ALB$. Así implica también se $AL=I$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
5xum
Puntos
41561
Si $A$ es de planta cuadrada y de rango completo, y $L$ es su izquierda y al revés $R$ es su derecho inversa, luego de
$$LA = I$$
Obtenemos (si multiplicamos ambos lados por $R$ desde la derecha)
$$LAR = IR\\ LI = RI\\ L = R$$
Sin embargo, si $A$ no es cuadrada, entonces uno de los dos inversos no existe y el otro no es única, por lo que no puede sacar la misma conclusión.
Por ejemplo: $A=[1,1]$ tiene más de una inversa a la derecha: $$B=[\frac12-t, \frac12 +t]$$ is an inverse of $Un$ for every $t$, but it has no left inverses, because for every $C\in\mathbb R^{2, 1}$, the matrix $CA$ has rank $1$ or $0$, so it cannot be equal to $I$ which has rank $1$.
Ciertamente no en general.
Deja que ' ve esto desde el punto de vista de la lineal mapas: $A$ es la matriz asociada a una lineal mapa $f\colon\mathbf R^m\to\mathbf R^n$, $L$ se asocia con un lineal de mar $u\colon\mathbf R^n\to\mathbf R^m$. $LA=I_m$ significa $\;u\circ f=\operatorname{id}_{\mathbf R^m}$, lo que implica $f$ es inyectiva y $u$ surjective.
Por otro lado $AL=I_n$ significaría $\;f\circ u=\operatorname{id}_{\mathbf R^n}$, lo que implicaría $f$ surjective y $u$ inyectiva, donde ambos sería isomorphisms.
Esto es imposible, por supuesto, si $m\neq n$. Si $m=n$, sabemos que para un endomorfismo en dimensión finita, inyectiva $\iff$ surjective $\iff$ bijective.
xenon
Puntos
11
Esto no es cierto para los no de las matrices cuadradas. Considere la posibilidad de $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
goblin
Puntos
21696
Caso 0. Si $A$ es cuadrada, entonces la respuesta es SÍ. El uso de determinantes: supongamos $LA = I$. A continuación,$\mathrm{det}(L)\mathrm{det}(A) = 1$. Por lo $\mathrm{det}(A)$ es distinto de cero. Por lo $A$ tiene dos caras inversa. Ahora uso:
La proposición. Si un elemento $A$ de un monoid tiene dos caras, a la inversa, a continuación, toda la izquierda inversa de a $A$ es un dos caras inversa.
Así que a partir de $LA = I$ podemos deducir que $AL=I$.
Caso 1. Si $A$ no es cuadrada, entonces la respuesta es un gran NO. Por ejemplo, definir una matriz $A$ como sigue: $$A = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$$
Para cada una de las $\lambda \in \mathbb{R}$, definir una matriz $L_\lambda$: $$L_\lambda = \begin{bmatrix}1 & \lambda\end{bmatrix}.$$
Claramente: $$L_\lambda A = 1.$$
Pero $$A L_\lambda = \begin{bmatrix}1 & \lambda \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$
