De hecho, la matriz de factorizations surgen en la teoría de cuerdas. No sé si hay buena encuesta de artículos sobre esta materia, pero aquí es lo que puedo decir al respecto. Podría ser un esquema en el gran Espejo de Simetría libro por Hori-Katz-Klemm-etc., pero no estoy seguro.
Cuando estamos considerando la B-modelo de un colector, por ejemplo, un compacto de Calabi-Yau, el D-branes (límite de los estados de cuerdas abiertas) están dadas por coherente de las poleas en el colector (o para ser más precisos, los objetos de la derivada de la categoría coherente de las poleas). Matriz de factorizations se presentan en una situación diferente, es decir, que son la D-branes en el B-modelo de Landau-Ginzburg modelo. Matemáticamente, una de Landau-Ginzburg modelo es sólo un colector (o variedad) $X$, normalmente no compacta, además de los datos de un holomorphic función $W: X \to \mathbb{C}$ se llama la superpotenciales. En esta situación general, una factorización de la matriz se define como un par coherente de las poleas $P_0, P_1$ con mapas de $d : P_0 \a P_1$, $d : P_1 \a P_0$ tales que $d^2 = W$. Supongo que se podría llamar a esto un "trenzado (o tal vez es "curvas"? Me olvide de la terminología) 2-periódica complejo coherente de gavillas". Cuando $X = \text{Spec}R$ es afín, y cuando coherente de las poleas son gratis $R$-módulos, esto es igual a la definición que se dio.
La relación entre la factorización de la matriz de categorías y categorías derivadas de coherente poleas se ha trabajado por Orlov: http://arxiv.org/abs/math/0503630 http://arxiv.org/abs/math/0503632 http://arxiv.org/abs/math/0302304
Creo que la sugerencia de buscar en la matriz factorizations fue propuesto por primera vez por Kontsevich. Creo que el primer papel que se explica Kontsevich que era la propuesta de este trabajo de Kapustin-Li: http://arXiv.org/abs/hep-th/0210296v2
Hay algunos interesantes trabajos recientes sobre la relación entre la abrir-cadena B-modelo de Landau Ginzburg modelo (que es, de nuevo, matemáticamente dada por la matriz factorizations categoría) y el cerrado de la cadena B-modelo, que no la he descrito, pero un ingrediente importante es el Hochschild (co)homología de la matriz factorizations categoría. Echa un vistazo a Katzarkov-Kontsevich-Pantev http://arxiv.org/abs/0806.0107 la sección 3.2. Hay un papel de Tobias Dyckerhoff http://arxiv.org/abs/0904.4713 y en un artículo de Ed Segal http://arxiv.org/abs/0904.1339 que, en particular, la Hochschild (co)homología de algunos factorización de la matriz de categorías. La respuesta es que es el Jacobiano del anillo de la superpotenciales. Esta es la respuesta correcta en términos de la física: el Jacobiano anillo es el cerrado espacio de estado de la teoría.
Katzarkov-Kontsevich-Pantev también tiene algunas cosas interesantes acerca de la visualización de la factorización de la matriz de categorías como "no conmutativo de espacios" o "no-conmutativa esquemas".
Edit 1: se me olvidó mencionar: Kontsevich original homológica simetría de espejo conjetura declaró que el Fukaya categoría de Calabi-Yau es equivalente a la derivada de la categoría de coherente gavillas de el espejo de Calabi-Yau. Homológica simetría de espejo desde entonces ha sido generalizada a no Calabi-Yaus. El áspero expectativa es que, dado cualquier compacto simpléctica colector, hay un espejo de Landau-Ginzburg modelo que, entre otras cosas, la Fukaya categoría de la simpléctica el colector debe ser equivalente a la matriz factorizations categoría de Landau-Ginzburg modelo. Por ejemplo, si su simpléctica colector es de $\mathbb{CP}^n$, el reflejo de Landau-Ginzburg modelo está dada por la función $x_1+\cdots+x_n + \frac{1}{x_1,\cdots x_n}$ en $(\mathbb{C}^\ast)^n$. Esto se refiere a veces como el Hori-Vafa espejo http://arxiv.org/abs/hep-th/0002222
Creo que varios expertos probablemente sabe cómo probar esta forma de homológica simetría de espejo, al menos cuando el simpléctica colector es, por ejemplo, un tóricas colector o tóricas de Fano colector, pero parece que muy poco de esto ha sido publicado. Puede haber algunas pistas en esta dirección en Fukaya-Ohta-Oh-Ono http://arxiv.org/abs/0802.1703 http://arxiv.org/abs/0810.5654, pero no estoy seguro. Hay una exposición del caso de $\mathbb{CP}^1$ en este papel de Mateo Ballard http://arxiv.org/abs/0801.2014 - el caso es que ya no trivial y muy interesante, y la respuesta es muy agradable: las categorías, en este caso, son equivalentes a los derivados de la categoría de los módulos a través de un álgebra de Clifford. Me gusta bastante Ballard, del papel, usted puede estar interesado en tomar un vistazo de todos modos.
Edit 2: Seidel tiene también una prueba de esta forma de homológica simetría de espejo para el caso del género de dos curvas. Aquí es el papel http://arxiv.org/abs/0812.1171 y aquí hay un video http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/atiyah80.htm de una charla que dio en esta materia en el Atiyah 80 de la conferencia.
