Positivo problema de la serie

Question

Deje $\sum\limits_{n\geq1}a_n$ positivo de la serie, y $\sum\limits_{n\geq1}a_n=+\infty$, probar que: $$\sum_{n\geq1}\frac{a_n}{1+a_n}=+\infty.$$

Answer 1

Probando el contrapositivo declaración parece limpiador para mí. Supongamos $\sum{a_n\over 1+{a_n}}$ converge. A continuación,${a_n\over 1+{a_n}}\rightarrow 0$. Esto implica que ${a_n}$ finalmente es menor que uno, por lo ${a_n\over2}\le {a_n\over a_n+1}$ $n$ lo suficientemente grande. La comparación de la prueba, a continuación, muestra que $\sum a_n$ converge.

Answer 2

Yo diría por casos.

Caso 1. $a_n\ge1$ para infinidad de $n\in\mathbb N$.

En este caso, para cada una de las $n$ tenemos $\frac{a_n}{1+a_n}=1-\frac{1}{1+a_n}\ge1-\frac12$, a partir de la cual la reclamación fácilmente de la siguiente manera.

Caso 2. $a_n\ge1$ por sólo un número finito de $n\in\mathbb N$.

En este caso, para el resto de $n$ tenemos $a_n&lt1$ e lo $\frac{a_n}{1+a_n}\ge\frac{a_n}{1+1}=\frac{a_n}2$. Desde un número finito de términos no puede afectar a la convergencia/divergencia de una serie, esto también divergen. (Desde $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2}$).

Answer 3

Alternativamente, dividir el problema en los siguientes casos:

1, Si existe un natural $N\in\mathbb{N}$ s.t $a_n\leq{1}$$n\geq N$, ¿qué se puede concluir?

2, Si (1) no es cierto, para cada natural $N$ podemos encontrar una $n\geq{N}$ s.t $a_n>1.$ pasando Ahora a una larga y comparando con una serie con cada término igual a una constante (más precisamente, $1/2$ o menor), el resultado de la siguiente manera.

Answer 4

Usted puede suponer que $(a_n) \rightarrow 0$ (si no el problema es trivial). Entonces, ¿qué puedes decir acerca asintóticamente $\frac{a_n}{1+a_n}$ ?

Answer 5

Podemos dividir en los casos de:

1. Si a(n) tiene límite cero : es menor que 1 para todo n mayor que n0, entonces podemos comparar con una(n)/2 que es menor que a(n)/(1+a(n)).

2. Si a(n) tiene límites diferentes a cero , también a(n)/1+a(n) y, a continuación, la serie diverge

3. Si a(n) es no acotada se ha subsequence que converge a infinito, entonces a(n)/1+a(n) converge a 1, entonces la serie diverge a infinito.

4. Si a(n) es acotado , podemos tomar un subsequence que es convergente.

Si no converge a cero también la secuencia de a(n)/1+a(n). Si todas las subsecuencias converge a cero ,entonces a(n) y podemos aplicar 1.