Global dimenson de aljabas con las relaciones

Question

Vamos Q ser de un número finito de carcaj sin bucles. A continuación, su dimensión global es 1 si contiene al menos una flecha.

Estoy tratando de conseguir algo de intuición acerca de lo mucho que la dimensión global puede crecer cuando nos cociente por algunos homogénea ideal de las relaciones I. En general, si P es acíclico (es esto necesario?), a continuación, la dimensión global es limitada por el número de vértices, pero quiero algo que utiliza la información de I. Para simplificar, vamos a suponer que hay en la mayoría de los 1 arista entre dos vértices. Si yo agregue la relación que un solo camino de longitud 2 es 0, entonces la dimensión global sube a 2, y lo mismo es cierto si 2 se sustituye por cualquier r>2 (a la derecha?). I puede obtener mayores dimensiones mundiales, por el siguiente: tomar algunos consecutivos flechas $a_1, a_2, \dots, a_n$, y de que cada camino de longitud 2 $a_{i+1} a_i$ es 0, entonces la dimensión global que va hasta n-1.

La manera en que yo estoy tratando de imagen este es el pensamiento de módulos proyectivos como el agua que fluye, que se detuvo por algunos roca colocada en los que las relaciones son, y ver cómo muchas veces las necesidades de flujo de reiniciar antes de que pueda llegar a la final (no sé si esto es un comentario útil.)

De todos modos, aquí está mi pregunta: ¿hay alguna forma sencilla para acotar la dimensión global de P/I suponiendo que Q es acíclico y no varias aristas entre dos vértices? En este caso, sólo estamos autorizados a decir que ciertas rutas son 0, por lo que estoy sospechando que esto tiene algo que ver con el "número de superposiciones." Mi conjetura sería algo así como, definir una superposición de ser cuando un segmento inicial de una ruta de acceso coincide con un final de un segmento de otra ruta de acceso y, a continuación, la dimensión global debe ser menor o igual al número de solapamientos + 2.

Answer 1

Si usted está considerando sólo monomio álgebras (es decir, si va a generar la idea que yo, por los caminos), a continuación, su intuición acerca de las superposiciones es correcta, una vez que vea que se superpone que usted necesita considerar. Hay un papel por Bardzell (alternando El comportamiento de monomio álgebras), donde se construye explícitamente una resolución proyectiva del cociente álgebra como un bimodule sobre sí mismo (cuya longitud de los límites de la gldim del álgebra) en el que se construye precisamente teniendo en cuenta los solapamientos.

Por cierto, si la gráfica no es acíclico, entonces la dimensión global puede muy bien ser infinito. El ejemplo más sencillo es un carcaj con un vértice y un bucle, y el ideal geberated por la plaza del bucle.

Más tarde: permítanme ser más explícito acerca de lo que significa "una vez que vea que se superpone usted necesita considerar"... Considerar el carcaj $Q$ que es un camino orientado con 15 flechas, y deje $I$ ser ideal generado por todos los caminos en $Q$ de la longitud de 8. Hay, pues, un mínimo de 8 relaciones, se superponen, pero si usted trabaja a través de la construcción de un mínimo de las resoluciones de la simple módulos de $kQ/I$ verás que la mayoría de los solapamientos no importa, y que la dimensión global es $3$ en este caso. Usted puede jugar a este juego con trayectos más largos, siempre y cuando se divide por no demasiado corto de relaciones.

No es demasiado difícil señalar con precisión cuáles son las coincidencias que hacen de la materia cuando el carcaj es un camino. El caso general no es terriblemente más complicado, pero siempre se las arregla para confundirme.