Relacionar los valores singulares de a $A$ $\frac{A^T+A}{2}$

Question

Considere la posibilidad de una matriz cuadrada con entradas real $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ de manera tal que la matriz simétrica $\frac{A^T+A}{2}$ es positiva definida.

Es posible encontrar una relación enlazando los valores singulares de a $\frac{A^T+A}{2}$ con los valores singulares de a $A$?

La relación puede ser una igualdad o desigualdad.

EDIT: he probado algunos ejemplos numéricos en algunas matrices de 2x2 y parece que al $(A^T+A)/2$ es positiva definida, a continuación, los dos valores propios son perturbadas por la misma cantidad. Por ejemplo:

Ejemplo 1: $$ G=\begin{bmatrix} 100 &10\\4 & 5\end{bmatrix} $$ Valores singulares de a $G$: $$ 4.5726253611256148668420314380021\\ 100.59866349662300975905062166134$$ $$ \frac{G^T+G}{2}=\begin{bmatrix} 100 &7\\7& 5\end{bmatrix} $$ Valores singulares de a $\frac{G^T+G}{2}$: $$ 4.4869809322513025538957048883323 \\ 100.51301906774869744610429511167$$

La diferencia es: $$0.085644428874312312946326549669858\\ 0.085644428874312312946326549669858$$

Ejemplo 2: $$ G=\begin{bmatrix} 20 &8\\2 & 7\end{bmatrix} $$ Valores singulares de a $G$: $$ 5.6287069525109683834660548089479\\ 22.02992641936769354654076803634$$ $$ \frac{G^T+G}{2}=\begin{bmatrix} 20 &5\\5& 7\end{bmatrix} $$ Valores singulares de a $\frac{G^T+G}{2}$: $$ 5.2993902665716374184626433863038\\ 21.700609733428362581537356613696$$

La diferencia es: $$ 0.32931668593933096500341142264419\\ 0.32931668593933096500341142264419$$

Answer 1

$\sigma_k(A)$ , $k$- ésimo mayor valor singular de a $A$, es siempre mayor o igual a $\sigma_k\left(\frac{A+A^T}2\right)$.

Prueba. WLOG podemos suponer que la $D=\frac{A+A^T}2$ es positivo matriz diagonal tal que su diagonal entradas están dispuestos en un orden decreciente. A continuación, $K=A-D$ es un sesgo matriz simétrica. Por Courant-Fischer minimax principio, $$ \sigma_k(A)=\max\limits_{\dim S=k}\ \min\limits_{x\in S,\, \|x\|_2=1} \|Ax\|_2. $$ En particular, si $\tilde{A}$ denota el líder principal de $k\times k$ submatriz de $A$, $e_i$ indica el $i$-ésimo vector de la base canónica y $V=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_k\}$, tenemos $$ \sigma_k(A)\ge\min\limits_{x\in V,\, \|x\|_2=1} \|Ax\|_2 \ge \min\limits_{y\in \mathbb{R}^k,\, \|s\|_2=1} \|\tilde{A}y\|_2.\la etiqueta{1} $$ Deje $\langle\cdot,\cdot\rangle$ denota el producto escalar usual en $\mathbb{R}^k$ $\tilde{D}$ denota el líder principal de $k\times k$ submatriz de a $D$. Para cualquier vector unitario $y$, la proyección ortogonal de a $\tilde{A}y$ en el lapso de $y$ está dado por $\langle \tilde{A}y,y\rangle y$. Desde $\langle \tilde{A}y,y\rangle=y^T\tilde{D}y\ge D_{kk}$, se deduce que el $\|\tilde{A}y\|_2\ge D_{kk}$. Por lo tanto, de $(1)$, llegamos a la conclusión de que $\sigma_k(A)\ge D_{kk}=\sigma_k(D)$.