Derivando la Ley de Biot-Savart de las Ecuaciones de Maxwell

Question

Como ejercicio, he estado intentando derivar la ley de Biot-Savart a partir del segundo conjunto de ecuaciones de Maxwell para corriente estacionaria

$$\begin{align}&\nabla\cdot\mathbf{B}=0&&\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}\end{align}$$

He logrado hacer esto usando el hecho de que un campo incompresible tiene un potencial vectorial $\mathbf{A}$, lo que me permite reescribir la segunda ecuación como

$$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$$

lo que se puede resolver por componentes usando la función de Green para el Laplaciano, obteniendo

$$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^{3}\mathbf{x}'$$

y dado que $\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)=\psi\nabla\times\mathbf{J}+\nabla\psi\times\mathbf{J}$, $$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^{3}\mathbf{x}'$$

como se deseaba. Sin embargo, si en cambio tomo el rotacional de ambos lados de la Ley de Ampère, y utilizo la identidad $\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}$ inicialmente, encuentro que

$$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}=0-\nabla^2\mathbf{B}=\mu_0\nabla\times\mathbf{J}$$

que nuevamente se puede resolver como la ecuación de Poisson, obteniendo

$$\mathbf{B}(\mathbf{x})=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^3\mathbf{x}'$$

lo que se puede simplificar utilizando la identidad $\psi(\nabla\times\mathbf{J})=-\nabla\psi\times\mathbf{J}+\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)$, dando

$$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^3\mathbf{x}'-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}'$$

La primera integral es precisamente la ley de Biot-Savart, pero no tengo idea de cómo hacer que la segunda integral se anule. He agotado cualquier identidad obvia de cálculo vectorial, y el teorema de Stokes no ayuda mucho. Claramente estoy cometiendo un error obvio, pero no he podido encontrarlo. Esto es similar a otras preguntas que se han hecho antes, pero tengo una pregunta específica sobre un paso en la derivación que no se responde en otro lugar.

Answer 1

Por lo que puedo recordar, la fórmula que obtienes es correcta. Puedes hacer que esta integral "problemática" desaparezca usando la siguiente identidad, a la que llamaremos "teorema del rotor":

$$\int\vec{\nabla}\times\vec{w}dV = -\int\vec{w}\times d\vec{S}$$

Para demostrar que esto es cierto, vamos a utilizar el teorema de la divergencia o teorema de Green-Ostrogradski, a saber

$$\int\vec{\nabla}\cdot \vec{v}dV = \int \vec{v}\cdot d\vec{S}$$

Dado que el teorema de la divergencia es una identidad escalar y el teorema del rotor es una identidad vectorial, vamos a necesitar tres campos vectoriales distintos que vamos a denotar como $\vec{v}_i$. Ahora, queremos que $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ para deducir una identidad en el rotor. Escribiendo esto en notación tensorial:

$$\partial^k(v_i)_k=\epsilon_{ikl}\partial^k w^l$$

Como podemos ver, es suficiente tomar $(\vec{v}_i)_k = \epsilon_{ikl}w^l$ y la relación se satisfará. Así que, para dicho campo vectorial tenemos $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$.

Aplicando el teorema de la divergencia a $\vec{v}_i$: $$\int(\vec{\nabla}\times\vec{w})_idV = \int\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_idV = \int\vec{v_i}\cdot d\vec{S} = \int (v_i)_k(d\vec{S})^k = \int\epsilon_{ikl}w^l(d\vec{S})^k = -\int(\vec{w}\times d\vec{S})_i$$

Dando así una demostración del "teorema del rotor". Utilizándolo en tu integral problemática: $$-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}' = -\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,\times d\vec{S}'$$

Ahora, la integral de volumen se realiza en todo el espacio, y suponiendo que $\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|} = 0$, da una contribución de 0. ¿Por qué esto no agrega suposiciones locas?

Para que este límite no sea cero, necesariamente debemos tener que $|J(x)|$ tienda a infinito. De hecho, supongamos que $J(x)$ es finito. Entonces, hay una constante $C$ tal que $|J(x)|

Por supuesto, todas mis deducciones fueron hechas en el contexto de funciones bien comportadas. No funcionaría, por ejemplo, para un alambre infinitamente pequeño, ya que la densidad de corriente se convierte en una distribución (usando la delta de dirac $\delta(x)$). No estoy lo suficientemente calificado para abordar este caso rigurosamente, pero espero que la explicación anterior dé una idea de por qué establecer esta integral en 0 es sensato.

Answer 2

Una primera observación es que esto no es particular del magnetismo. Exactamente lo mismo ocurre si intentas encontrar la ley de Coulomb para el campo eléctrico; obtienes un término como

$$\int \nabla' \frac{\rho(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\ d^3 \mathbf{x}'$$

lo cual debería ser cero. Bueno, no hay identidades de cálculo vectorial complicadas involucradas, solo el antiguo teorema fundamental del cálculo. Para ver esto, veamos tu versión. La integral es un vector, y cada componente tiene dos términos debido al rizo. Vamos a concentrarnos en el primer término del primer componente:

$$\int \partial'_2 \left( \frac{J_3(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|} \right)\ d^3\mathbf{x}'$$

Según el teorema de Fubini (asumiendo funciones suficientemente bien comportadas), podemos integrar las tres variables en cualquier orden. La integración de $x_2'$ es trivial porque el integrando es una derivada total, por lo que el resultado es simplemente la expresión dentro del paréntesis evaluada en $x_2' = \pm \infty$, lo cual usualmente asumimos que es cero. Por lo tanto, este término se anula, al igual que todos los demás porque son esencialmente lo mismo.