¿Qué son las condiciones generales del teoremas que dan a los criterios suficientes para ser un $C^{\infty}$ función analítica? La más general y simple de la prueba, la mejor. Estoy tratando de comprender más a fondo el camino de lo que impide a $C^{\infty}$ funciones de analítica. El ejemplo canónico de una $C^{\infty}$ función de $f$ que no es analítica en un punto es $f(x) = e^{-\frac{1}{x}}$ $x \in [0, \infty]$ $f(x) = 0$ en otros lugares. Esto me indica que un valor distinto de cero funciones analíticas que no se "aplana" demasiado rápidamente a un punto en el que están definidas. Sé que esto es vaga, pero me puede dar algunos teoremas que hacen que sea más claro cuánto más general $C^{\infty}$ funciones de analítica y muchos más grados de libertad que tienen? Yo también agradecería ejemplos de $C^{\infty}$ funciones que son patológicos, en cierto sentido, de manera que una analítica de la función no puede ser. Por ejemplo, hay un $C^{\infty}$ función que no sea analítica en un denso conjunto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me temo que los gráficos no siempre nos da claras señales visuales sobre la analiticidad debido a que las diferencias entre la suavidad y la analiticidad son algo sutil y técnica. La siguiente es la única diferencia conocido para mí:
La proposición. Deje $f: I \to \mathbb{R}$ ser una analítica de la función definida en un intervalo abierto $ I \subseteq \mathbb{R} $. Si existe $ x_0 \in I $ tal que para cada a $ n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ tenemos que $ f^{(n)}(x_0) = 0 $, $ f(x) = 0 $ por cada $ x \in I $.
Puesto que la clase de funciones analíticas que se porta bien en el sentido de que es cerrado bajo las operaciones de suma, producto y composición, otra cosa que podría ayudar a identificar a los no-funciones analíticas cuando se trata con combinaciones de primaria funciones analíticas que está buscando en los puntos en que la función maximal de dominio tal que no puede ser extendido sin perder su analiticidad y, posiblemente, la necesidad de una función definida a tramos. Que es exactamente el caso con la función de
$$ f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & x >0 \\ 0 &x \le 0 \end{cases} $$
que, al no ser analítico exactamente en $ x = 0 $, lo que a su vez es el único punto de la máxima dominio $ \mathbb{R} \backslash \{0\} $ de la función de $ e^{-\frac{1}{x}} $ que no es posible asignar un valor tal que se preserve la analiticidad.
Ahora vamos a estado dos proposiciones que da criterio suficiente para que una función uniforme para ser analítico. Deje $ f: I \to \mathbb{R} $ ser un suave función definida en un intervalo abierto $ I \subseteq \mathbb{R} $.
La proposición. La función de $f$ es analítico si y sólo si para cada a $ x_0 \in I $ la serie de Taylor de $f$ $x_0$ converge a $f(x)$ todos los $x$ en un barrio de $x_0$.
La proposición. La función de $f$ es analítico si y sólo si para cada subconjunto compacto $ K \subset I $ existe una constante $ C \in \mathbb{R}_{\ge 0} $ tal que para cada a $ n \in \mathbb{Z}_{\ge 0} $ el siguiente innequality tiene para todos los $ x \in I $
$$ |f^{(n)}(x)| \le C^{n+1} \, n! $$
Por último, usted puede encontrar más información sobre no tanto patológicos no analítico suave funciones en los siguientes artículos de wikipedia:
