Todos los números positivos pueden expresarse como suma de uno, dos o más enteros positivos consecutivos. Por ejemplo, el 9 puede expresarse de tres maneras: 2+3+4, 4+5 o 9. ¿De cuántas formas se puede expresar un número como suma de números consecutivos?
Aquí para el 9 la respuesta es 3, para el 10 la respuesta es 3, para el 11 la respuesta es 2.
Aquí hay una forma más de calcular esto, desde mi respuesta a esta pregunta en otro sitio :
Un número entero $n$ es expresable como la suma de $m$ enteros positivos consecutivos si y sólo si:
y $\frac nm \ge \frac m2$ (de lo contrario, algunos de los enteros de la suma serían cero o negativos).
Estas condiciones se derivan del hecho de que la suma de una secuencia aritméticamente creciente de $m$ los números son iguales $m$ veces la media de los números.
La última condición puede reescribirse como $m \le \sqrt{2n}$ . Así, basta con iterar sobre todos los enteros $m$ de $1$ a $\lfloor \sqrt{2n} \rfloor$ y comprobar si $\frac nm + \frac m2 + \frac12$ es un número entero.
Una suma de números consecutivos es una diferencia de números triangulares. El documento siguiente da una solución para el caso de números triangulares no consecutivos.
Nyblom, M. A. Sobre la representación de los enteros como diferencia de números triangulares no consecutivos . Cuarto de Fibonacci. 39 (2001), no. 3, 256-263.
El resultado principal es que el número de representaciones distintas de un entero no nulo $m$ como diferencia de números triangulares no consecutivos viene dada por $d−1$ , donde $d$ es el número de divisores Impares de $m$ .
Una afirmación equivalente a ese resultado principal se da en los comentarios de A001227 aunque sin referencia.
Fijar $k$ . ¿Hay alguna manera de que un número $N$ puede escribirse de más de una manera como una suma de $k$ ¿número consecutivo? Ciertamente no porque $$ a+(a+1)+\cdots+(a+k-1)\neq b+(b+1)+\cdots+(b+k-1) $$ si $a\neq b$ . Por otro lado $N$ es la suma de $k$ número consecutivo si y sólo si $N$ es la forma $$ N=\frac12\left[(n+k)(n+k+1)-n(n+1)\right] $$ para algunos $n$ . ¿Ayuda eso?
Factorizar el número y encontrar el número de factores Impares . La respuesta es el número total de factores Impares (excepto 1).
Expresar N en términos de factores primos
$N = a^p . b^q . c^r$
Si a = 2 . Número de factores Impares = (q+1)(r+1) - 1 . Nota : Se resta 1 porque 1 no puede ser respuesta ya que términos consecutivos significa mayor que 1 término.
Por ejemplo.
$100 = 2^2 . 5^2 $
Así que Número de factores Impares = (2+1) - 1 = 2 = Número de formas de escribir 100 como suma de 2 o más enteros consecutivos . Son
18, 19, 20, 21, 22
9,10,11,12,13,14,15,16
RESPUESTA:
Number of ways of writing N as sum of consecutive positive integers is Number of odd factors in that number (except 1).
Ver también : http://mathblag.wordpress.com/2011/11/13/sums-of-consecutive-integers/
Hace varios meses pensé en esta misma pregunta durante una de mis clases y elaboré la solución durante la pausa del almuerzo, el mismo tipo de argumento podría utilizarse para encontrar el número de representaciones de $n$ en cualquier secuencia aritmética módulo de un número entero positivo. Tengo que si $S(n)$ denota el número de representaciones de $n$ como una suma de números naturales sucesivos con $n\ge 1$ entonces eso:
$$S(n)=d(\frac{n}{2^{v_2(n)}})$$
Dónde $v_2(n)$ es el $2$ -ordenada de $n$ Lo que hice fue utilizar el hecho de que:
$$\sum_{\substack{a^2+ab=n\\(a,b)\in \mathbb{N^2}}}f(a,b)=\sum_{\substack{b=\frac{n}{a}-a\\(a,b)\in \mathbb{N^2}}}f(a,b)=\sum_{\substack{d\mid n\\d<\sqrt{n}}}f(d,\frac{n}{d}-d)$$
Para reescribir: $$S(n)=\sum_{\substack{a+(a+1)+(a+2)+\dots +(b-1)+b=n\\b\ge a\\(a,b)\in \mathbb{N^2}}}1=\sum_{\substack{(a+b)(a-b+1)=2n\\b\ge a\\(a,b)\in \mathbb{N^2}}}1=\sum_{\substack{a^2-b^2+a+b=2n\\b\ge a\\(a,b)\in \mathbb{N^2}}}1$$
Y luego se simplifica la suma resultante intercambiando los índices de la suma varias veces y poniendo $b=a-1+k$ con $k\in \mathbb{N}$ ya que tenemos que $b\ge a$ .
Esta fue la prueba que garabateé, donde utilicé $\chi_2$ para denotar el carácter de Dirichlet módulo $2$ .
Lo siento si es un poco desordenado:
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@BhavikAmbani, esta pregunta es como preguntar si n es un número de Fibonacci. La solución se puede calcular, pero no se puede representar con una fórmula simple, a menos que se diga algo trivial como $f(n) \Leftrightarrow f(n - 1) + f(n - 2)$
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@BhavikAmbani: Muchas cosas se cuentan sin fórmulas explícitas, como la función de contar primos. Sin embargo, esta pregunta es equivalente al problema diofantino(¿?) de contar las soluciones enteras $(a,b)$ con $a<b$ a $$(b+a)(b-a+1)=2n$$ para $n$ dado pero desconocido.
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No resulta demasiado difícil demostrar que existe una infinidad contable de números que pueden obtener así se expresa al menos de dos maneras.
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@BhavikAmbani: La pregunta ha sido discutida en este sitio. Ver este enlace. He dado una respuesta que incluye una derivación del número de soluciones. En esa pregunta, "suma de" $1$ no estaba permitido, por lo que tendrá que añadir $1$ .
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@AndréNicolas, ¿entonces esta pregunta es un duplicado?
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@lhf: No soy bueno buscando, probablemente haya salido varias veces. La pregunta a la que me refería preguntaba sobre qué números son la suma de más de $1$ enteros positivos consecutivos. En mi respuesta, yo se ofreció como voluntario los detalles de un recuento del número de representaciones, pero formalmente la pregunta no era sobre el recuento.
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@lhf: Gracias, soy propenso a las erratas. Lo arreglaré.
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@BhavikAmbani: (corregida la mala errata, anterior comentario ahora borrado) Lo siguiente es una fórmula citada del post al que me refería. Para la prueba por favor ver el post. Si $$w=2^{a_0}p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k},$$ donde el $p_1,p_2,\dots,p_k$ son primos Impares distintos, entonces el número de representaciones no triviales de $w$ es $$(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1).$$