¿Por qué es $-\log(x)$ integrable sobre el intervalo $[0, 1]$ pero $\frac{1}{x}$ no integrable?

Question

No entiendo por qué algunas de las funciones que contienen una singularidad en el dominio de integración son integrables, pero otros no lo son.

Por ejemplo, considere el $f(x) = -\log(x)$ $g(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo de $[0, 1]$. Estas funciones se ven muy similares cuando están representadas, pero sólo $f(x)$ puede ser integrado.

1. ¿Cuál es la precisa razón matemática(s) que hace que algunas de las funciones con las singularidades integrable, mientras que otros no?
2. Se $\log$ funciones de las únicas funciones con las singularidades que pueden ser integrados o existen otros tipos de funciones con las singularidades que pueden ser integrados?

Answer 1

Es sólo de si o no el área bajo la curva es finito o no. No importa de que hay una asíntota.

Usted podría considerar la posibilidad de que el área bajo las curvas de $y=e^{-x}$$y=1/x$$x>0$. Estos son realmente los mismos dos curvas que mencionas, sólo a lo largo del otro eje.

Es parecido a la idea de que una serie infinita puede o no puede converger, simplemente porque hay una infinidad de términos en una serie no significa que la serie debe divergir.

Answer 2

Piénselo de esta manera - lo que es a la inversa?

$$y = \frac{1}{x}; x = \frac{1}{y}$$ $$y = -\log x; x = e^{-y}$$

Mirándolo de esta manera, es claro que como $y$ se dispara hasta el infinito, $x$ se aproxima a cero mucho más rápido en un caso que en el otro.

Answer 3

La clave es la rapidez con que la función es divergente.

Con respecto a tus dos ejemplos, $-\log$ va muy rápido cerca de la $y$-eje, de manera que es integrable, pero no $x\mapsto \frac {1}{x}$.

• Ha $$\int_a^1 -\log(x)\mathrm dx=a(1-\log(a))+1\xrightarrow[a\to 0^+]{} 1<\infty.$$ por Lo que esta función es integrable.

• Ha $$\int_a^1 \frac 1x\mathrm dx=-1+\frac 1{a^2}\xrightarrow[a\to 0^+]{} +\infty.$$ por Lo que esta función no es integrable.

Respecto a su segunda pregunta, $\log$ funciones son absolutamente no es el único. Para convencerse a sí mismo, tome por ejemplo $x\mapsto \frac 1{\sqrt{x}}$$(0,1)$.

Answer 4

Simple: $\quad -\log x=_0 o\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)$ y la integral de $\dfrac 1{\sqrt x}$ [0,1] es convergente.