¿Polígonos de punto medio?

Question

Un polígono de punto medio se forma tomando los puntos medios de cada lado de un polígono y creando un nuevo polígono con esos puntos. El resultado final es el polígono de punto medio inscrito en el polígono con el que comenzaste.

Dado un polígono arbitrario, ¿siempre es el polígono de punto medio de algún otro polígono? Y si es así, ¿es único este otro polígono? ¿Hay una construcción simple para encontrarlo? Y también, ¿hay algún caso especial de la pregunta original que sea más fácil de responder?

Answer 1

Tenga en cuenta que los puntos medios de un cuadrilátero forman un paralelogramo. Así que si un cuadrilátero no es un paralelogramo no puede ser el polígono de puntos medios de otro cuadrilátero.

EDIT:

Deje que los vértices del polígono sean de coordenadas $(x_1,y_1)\ldots(x_n,y_n)$. Supongamos que empezamos desde $(a,b)$ y construimos incrementalmente la línea quebrada $(a,b),(a_1,b_1)\ldots(a_n,b_n)$ teniendo como puntos medios el polígono original:

$x_1=\frac{a+a_1}{2}$, $y_1=\frac{b+b_1}{2}$ entonces

$a_1=-a+2x_1$, $b_1=-b+2y_1$

$a_2=-a_1+2x_2$, $b_2=-b_1+2y_2$

$\ldots$

$a_n=-a_{n-1}+2x_n$, $b_n=-b_{n-1}+2y_n$

Para tener un polígono cerrado se necesita que $a_n=a$ y $b_n=b$

Entonces para $n$ impar se obtiene una solución única:

$a=x_1-x_2+x_3-\ldots+(-1)^{n+1}x_n$

$b=y_1-y_2+y_3-\ldots+(-1)^{n+1}y_n$

Para $n$ par, los dos sistemas lineales no son de rango completo (tienen una infinidad de soluciones nulas). Puede verificar cuándo sucede cada caso con el teorema de Rouché–Capelli

Entonces cuando $n$ es par, el sistema tiene solución si:

$x_1-x_2+x_3-\ldots-x_n=0$

$y_1-y_2+y_3-\ldots-y_n=0$

En cuyo caso tiene una infinidad de soluciones, comenzando desde cualquier punto del plano.

Por supuesto, dependiendo de los requisitos no especificados sobre el polígono (no degenerado, no auto-intersectante, convexo), puede que tenga que imponer restricciones adicionales.

Answer 2

La transformación del punto medio se puede escribir en forma de matriz $Q=AP$, donde $Q$ son los nuevos vértices, $P$ son los vértices antiguos, y la matriz $A$ es una matriz circulante cuya primera fila es $1/2,1/2,0,\dots,0$.

La propiedad relevante es que el rango de $A$ es $n-d$, donde $d$ es el grado de $\gcd( x^{n-1}+1, x^n - 1)$. Cuando $n$ es par, este gcd tiene al menos el factor $x+1$ y por lo tanto $A$ es singular y la transformación del punto medio no se puede invertir.

El gcd es en realidad un divisor de $x+1= x(x^{n-1}+1)-(x^n - 1)$ y por lo tanto es o bien $1$ o bien $x+1$. Por lo tanto, $A$ es singular si y solo si $n$ es par.

Answer 3

Para ser breves, digamos que si $X_1X_2X_3...X_n$ es un polígono, y $Y_1Y_2Y_3...Y_n$ es su polígono de puntos medios, llamaremos a $Y_1\dots Y_n$ el dual de $X_1\dots X_n$, y $X_1 \dots X_n$ un predual de $Y_1\dots Y_n. Los siguientes resultados caracterizan completamente cuándo un polígono $Y_1 \dots Y_n$ tiene un predual, cuándo ese predual es único, y cuándo dos polígonos diferentes (es decir, no congruentes) tienen los mismos (es decir, congruentes) duales.

Si $n$ es impar, entonces cualquier polígono $Y_1 \dots Y_n$ tiene un predual único.

Si $n$ es par, las cosas son mucho más complicadas. Sea $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots \vec{e_n}$ los vectores que apuntan desde cada vértice al siguiente; es decir, $\vec{e_1} = \vec{Y_1Y_2},\vec{e_2}=\vec{Y_2Y_3},\dots \vec{e_n}=\vec{Y_nY_1}$. Luego, para cualquier polígono es cierto que $\vec{e_1}+\vec{e_2}+\cdots+\vec{e_n}=0. La siguiente condición es necesaria y suficiente para asegurar que el polígono tiene un predual: necesitamos que $\vec{e_1}+\vec{e_3}+\cdots+\vec{e_{n-1}}=0$ y $\vec{e_2}+\vec{e_4}+\cdots+\vec{e_{n}}=0. En otras palabras, los lados con números impares y los lados con números pares se suman por separado para formar dos polígonos.

En el caso $n=4$, la condición anterior se reduce a la exigencia de que $\vec{e_1}=-\vec{e_3}$ y $\vec{e_2}=-\vec{e_4$, es decir, que el cuadrilátero sea un paralelogramo.

Respecto a la unicidad, formemos dos polígonos $X_1X_3\dots X_{n-1}$ y $X_2X_4\dots X_n$ con igual número de vértices. Dejemos que $X_2'X_4'\dots X_n'$ sea cualquier traslación de $X_2X_4\dots X_n$ en el plano. Luego, los dos polígonos $X_1X_2X_3\dots X_{n-1}X_n$ y $X_1X_2'X_3\dots X_{n-1}X_n'$ tienen duales congruentes.

Dicho de otra manera: descompongamos un $2n$-gono en dos $n$-gonos uniendo cada otro vértice. Luego permitamos que esos dos $n$-gonos "floten" en el plano en relación el uno al otro. A medida que toman diferentes posiciones, el $2n$-gono original se deforma en diferentes formas, pero todos esos $2n$-gonos diferentes tienen duales congruentes. Esta es la única forma en que dos polígonos diferentes pueden tener el mismo dual.

Answer 4

¡Sí, podemos!

(Además, para un número par de nodos, entonces la frecuencia 'más alta' no se puede recuperar.)

Se puede hacer con una deconvolución en el dominio de Fourier:

$$P_0 = \mathcal{F}^{inv}\left(\frac{\mathcal{F}(P_1)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\exp(i\omega)}\right)$$

en donde $P_0$ es el polígono reconstruido, $P_1$ es el polígono del punto medio, $\mathcal{F}$ y $\mathcal{F}^{inv}$ son la transformada de Fourier directa e inversa.

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Prueba

Supongo un polígono n-dimensional, pero dado que para cada dimensión, el punto medio se calcula para cada dimensión por separado, esto reduce este problema a 1D.

El polígono del punto medio $P_1$ del polígono $P_0$ es el promedio móvil de este, con longitud 2. Esto se reduce a una convolución circular con el filtro $\{\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$.

Según el Teorema de la Convolución, podemos recuperar $P_0$ de $P_1$ en el dominio de frecuencia, dividiendo el espectro de $P_1$ con el espectro del filtro de convolución $\{\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$, que es $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\exp(i\omega)$. Este espectro tiene solo un cero, en $\omega = \pi$, la frecuencia de Nyquist.

• Solo para un número par de nodos, la Transformación de Fourier 'muestrea' en la frecuencia de Nyquist. Y así, esto no se puede recuperar con una deconvolución, ya que se perdió en el promedio móvil. Solo considera el ejemplo 1D $\{1,0,1,0\}\rightarrow\{\frac12,\frac12,\frac12,\frac12\}$
• Para un número impar de nodos, todos los valores del espectro del filtro son distintos de cero, y por lo tanto se pueden recuperar durante la deconvolución.

$\blacksquare$

PD: En la práctica, para un número par de nodos, la frecuencia de Nyquist se puede establecer mejor en cero, siguiendo la navaja de Occam, ya que esto también minimiza la 'energía' de tu polígono. Ten en cuenta que también se amplifican otras altas frecuencias, si el polígono del punto medio se adquirió a partir de una medición ruidosa. Por lo tanto, estas también se pueden establecer en cero, o puedes usar otro tipo de regularización, si hay información adicional disponible sobre el polígono inicial. Por ejemplo, si sabes que el número de vueltas es relativamente escaso, puedes usar regularización $\ell_1$.