Una pregunta sobre los vecinos de las fracciones.

Question

He comprado I. M. Gelfand del Álgebra para mi pronto-a-ser estudiante de la escuela secundaria hijo, pero estoy avergonzado de admitir que soy incapaz de responder aparentemente simples preguntas a mí mismo.

Por ejemplo, este:

Problema 42. Fracciones $\dfrac{a}{b}$ $\dfrac{c}{d}$ son llamados vecino fracciones, si su diferencia $\dfrac{ad - bc}{bd}$ ha numerador $\pm1$, $ad - bc = \pm 1$.

Demostrar que

(un.) en este caso, ninguno de fracción se puede simplificar (que es, ni tampoco ninguno de los factores comunes en el numerador y el denominador);

(b.) si $\dfrac{a}{b}$ $\dfrac{c}{d}$ vecino fracciones, a continuación, $\dfrac{a + b}{c + d}$ es entre ellos y es un niehgbor fracción por tanto $\dfrac{a}{b}$$\dfrac{c}{d}$; además, ...

Aquí es la instantánea del libro en línea (haga clic en Buscar Dentro de la página del Amazonas):

Por lo tanto, (a) es simple, pero no tengo idea de cómo probar (b). Simplemente no me parece correcto para mí. Vergonzoso. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como @Pedro di cuenta de que (b) es un error y debería ser $\frac{a+c}{b+d}$. Para mostrar que el original no es correcto, usted sólo tiene que encontrar un contraejemplo. Un ejemplo de ello es $a=1$, $b=2$, $c=3$, y $d=5$. A continuación, $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ $\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$ vecino fracciones, ya que $ad-bc=-1$, pero $\frac{a+b}{c+d}=\frac{3}{8}$ no está entre las fracciones originales (es menor de ambos) y no es un vecino de la fracción a cualquiera de las fracciones originales (el especificado diferencias son 2 y 9).

El mensaje para llevar para usted es: si usted está teniendo problemas para demostrar lo que parece ser una simple declaración (sobre todo si no te parecen correctas), probar un par de ejemplos para ver si usted puede ver lo que está sucediendo y por qué es verdad. En este caso, probablemente se habría encontrado un ejemplo contrario a la declaración (el de arriba fue el primer caso de vecino fracciones traté de donde $b\neq c$), y un contador de ejemplo, significaba que una prueba fue imposible.

Una vez que conoces el original no es correcto, encontrar la versión correcta es opcional y más difícil. Usted podría tratar de buscar en google para el libro la fe de erratas (yo era incorrecta). También se podría tratar de reorganizar el $\frac{a+b}{c+d}$ para obtener una correcta instrucción (en el supuesto de que el original debe haber sido cerca de la verdad) y, a continuación, ver si usted puede demostrar una declaración que coincide con un ejemplo correcto. O usted podría decidir que ya no sabes cuál es la afirmación correcta es en realidad, puede ser cualquier cosa, desde la trivialmente fácil increíblemente duro, y usted puede poner su lápiz.

Answer 2

Solo para que lo sepas, ayuda a una buena oferta si al menos uno de los padres pasa a través de los mismos ejercicios que el niño. Puede ser difícil; sin embargo, la compra de un libro puede no ser suficiente. Dado su perfil, ser conscientes de que las matemáticas y la informática no son la misma cosa. El ejemplo que aparece una y otra vez en este sitio es el de las relaciones de equivalencia, especialmente de los enteros modulo $m$ algunos $m.$ Si el estudiante sólo es capaz de pensar en términos de que el equipo de comando n % m, importantes matices se pierden.

Puedo añadir esto: dado vecino fracciones, y un entero positivo $k,$ la fracción $$ \frac{a + kc}{b + kd} $$ es un vecino para al menos uno de ellos (no puede recordar, probablemente de la segunda) y se encuentra entre ellos. De hecho, si usted también tenía $m,$ resultado similar para $$ \frac{ma + kc}{mb + kd} $$

Los principales ejemplos de los vecinos de las fracciones de secuencias de llamada fracciones de Farey. https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence

Otro ejemplo, no es lo mismo, es el convergents de simple fracciones continuas. Fracciones continuas: la convergencia de la fracción de expansión

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccccccccc} & & 1 & & 1 & & 2 & & 1 & & 1 & & 4 & & 1 & & 1 & & 6 & \\ \frac{0}{1} & \frac{1}{0} & & \frac{1}{1} & & \frac{2}{1} & & \frac{5}{3} & & \frac{7}{4} & & \frac{12}{7} & & \frac{55}{32} & & \frac{67}{39} & & \frac{122}{71} & & \frac{799}{465} \\ \end{array} $$

Answer 3

Tenemos que probar que para enteros positivos $a,b,c,d$, o tenemos

$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$$

o

$$\frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b}$$

Primero de todo, $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$ es equivalente a $ab+ad=ab+bc$, por lo tanto $ad=bc$, lo que contradice la suposición $ad-bc=\pm 1$. Podemos refutar $\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$, de la misma manera.

En el caso de $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}$, obtenemos $ad<bc$, por lo tanto $ad-bc=-1$. La condición de $\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ es equivalente a $ad+cd<bc+cd$, hende $ad<bc$, lo que implica $ad-bc=-1$ nuevo. Por eso, $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}$ es equivalente a $\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$.

Así, si tenemos $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}$, debemos tener $\frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d}$ (que también puede ser probada directamente analógica para el cálculo de arriba)

Para mostrar que la media de la fracción es un vecino de la fracción para ambas fracciones, sólo tiene que utilizar la definición de vecino-fracciones.