La raíz cuadrada de la media aritmética de la velocidad del gas de hidrógeno a temperatura ambiente es:
\begin{align}
R=\text{gas constant}&=8.31
\\
\text{Molar mass of hydrogen gas}& =2.02×10^{-3}\rm\, kg/mol
\\
v &= \left({3×8.31×300\over(2.02×10^{-3})}\right)^{1\over2}
\\&= 3356.8377\rm\, meter / sec
= 3.356 \,km/sec
\end{align}
La velocidad de escape de la Tierra es de 11.2 km/s,
que es mayor que la media de la raíz cuadrada de la velocidad del gas de hidrógeno.
Pero aún así, el gas de hidrógeno no existe en la atmósfera de la Tierra. Por qué?
He cometido algún error en mis cálculos?
Respuestas
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Jammy
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La respuesta a tu pregunta viene de Maxwell distribución de la velocidad de las moléculas de hidrógeno.
Si usted echa un vistazo a esta gráfica, sobre la velocidad de una partícula $v$ y la probabilidad de que la velocidad de la $w$, se puede ver que hay una probabilidad no nula de que la velocidad de una determinada molécula es mayor que la media de la raíz cuadrada de la velocidad de $v_{\mathrm{qm}} $ de la distribución.
En particular, se puede calcular la probabilidad de que la velocidad de una determinada molécula es mayor que la velocidad de escape de la Tierra $v_{\mathrm{esc}} = 11000\,\mathrm{m/s}$. Bajo la hipótesis de gas ideal, esta probabilidad es: $$\mathcal{P} = \int_{v_{\mathrm{esc}}}^{\infty} w(v) dv $$ la definición de la función de densidad de probabilidad: $$ w(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k_{\mathrm{B}} T}\right)^{3/2} e^{-\frac{mv^2}{2 k_{\mathrm{B}} T}} v^2 $$ donde $m$ es la masa de la molécula de hidrógeno, $k_{\mathrm{B}}$ es la constante de Boltzman, $T$ es la temperatura absoluta (en Kelvin) y $v$ de la velocidad.
Al hacer este cálculo (por favor, permítanme utilizar otros valores ya he calculado, en este punto se debe ser fácil de aplicar que la fórmula para cada valor) a una temperatura $T=270\,\mathrm{K}$ y con una masa $m_{H_2} = 2 \cdot 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, tenemos que la media de la raíz cuadrada de la velocidad es $v_{\mathrm{qm}}=1830\,\mathrm{m/s}$. Por otro lado, la probabilidad de que una partícula tiene una velocidad seis veces mayor que este valor es aproximadamente la velocidad de escape de la Tierra) es $2 \times 10^{-9}$. Este valor es pequeña, pero no insignificante, en un tiempo suficiente, cada molécula de hidrógeno se escapan de la atmósfera de la Tierra.
Un último ejemplo, se puede considerar que la masa de la molécula de oxígeno. Su masa es 16 veces más grande que la molécula de hidrógeno y su raíz cuadrada de la media aritmética de la velocidad es 4 veces menor y 24 veces menor que la velocidad de escape. La probabilidad de obtener la velocidad suficiente para escapar de la atmósfera de la Tierra es aproximadamente de $10^{-40}$: muy, muy pequeña.
Este es un intuitivo, aproximado explicación de por qué el hidrógeno molecular concentración en la atmósfera de la Tierra es muy bajo, mientras que la concentración de otras moléculas más pesadas es mayor. Hay una diferencia en la probabilidad de que, para una determinada molécula, para tener una velocidad mayor o igual a la velocidad de escape de la Tierra. Esto influye en la velocidad a la que este tipo de molécula de escapar de la atmósfera y por lo tanto conducen a un equilibrio diferente (diferente concentración) para cada molécula.
(fuente: F. Ciccacci, "Fondamenti di Fisica Atomica e Quantistica")
Floris
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El equilibrio de la concentración de hidrógeno en la atmósfera es de aproximadamente 0,5 ppmv (partes por millón por volumen) de acuerdo a Wolfram Alpha (con una punta del sombrero a @AccidentalFourierTransform). Este es un resultado de los mecanismos de producción, y a la destrucción (reacciones químicas, escape). Tienes razón en que el RMS de la velocidad de hidrógeno es menor que la velocidad de escape - pero eso no importa.
Lo que hay que tener en cuenta es que no todas las moléculas tienen la misma velocidad. La de Maxwell-Boltzmann distribución de la velocidad es de la forma
$$p(v) = \sqrt{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^3}4\pi v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$$
Se puede representar esta hidrógeno y de obtener lo siguiente:
Esto nos dice que hay una pequeña probabilidad finita de una molécula individual de alcanzar la velocidad de escape. Una vez que la molécula es eliminado, no va a venir de nuevo, y la distribución de la velocidad va a ser re-establecido (debido a que la atmósfera se mantienen a la misma temperatura). Así que hay una lenta "fuga" de hidrógeno de la atmósfera. Es suficiente que la fuga de ser más rápido que la tasa de generación de hidrógeno, la concentración de la gota; finalmente, se alcanza el equilibrio.
Debido a que el Nitrógeno y el Oxígeno tienen mucho moléculas más pesadas, que representan una fracción mucho más grande de la atmósfera. La probabilidad de que uno de sus moléculas alcanzar la velocidad de escape es muchos órdenes de magnitud menor que la probabilidad de hidrógeno. Así, a través de "tiempo geológico", casi todos de hidrógeno desaparece de la atmósfera.
Nota - si la parcela de arriba, en semilog escala se puede ver lo pequeño que la probabilidad de que las velocidades altas es - y entonces recuerde que la parte superior de la atmósfera (por encima de 100 km o así), en realidad es significativamente más caliente que el aire cerca de la superficie - bajo ciertas condiciones, la parte superior de la termosfera pueden alcanzar temperaturas de más de 2000 C durante el día. A esa temperatura, la probabilidad de escape de hidrógeno aumenta muy significativamente. Esto se muestra en este diagrama:
Aquellos caliente de hidrógeno de moléculas y átomos) en lo alto de las capas más externas de la atmósfera tienen una buena oportunidad de escapar...
Nota Final - a menos que la trayectoria libre media de las moléculas es muy grande, se somete a otra colisión y más probabilidades de ser enviado de vuelta a la tierra. Esta es la razón por la que sólo la temperatura de la muy capas más externas de la atmósfera de la materia para este cálculo.
jkej
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Las otras respuestas son correctas en términos de la razón principal de que el encendedor moléculas son mucho más propensos a escapar de la atmósfera. Sin embargo, parece que la premisa de la pregunta (y quizás también de algunas de las respuestas y comentarios) se basa en una incorrecta modelo de la de escape.
Las moléculas de la mayoría de las piezas de la atmósfera nunca escapar, independientemente de la velocidad.
La siguiente imagen es tomada de este documento (lectura recomendada) y muestra que escapar es, básicamente, sólo posible para las moléculas por encima de los 500 km (la exósfera). Las moléculas de debajo de eso (lo más probable) chocan con otras moléculas antes de escapar.
Así que, ¿cuál es la composición de la atmósfera como en la exósfera?
La siguiente figura muestra las proporciones de mezcla de los componentes principales entre 0 y 1000 km, basado en los datos tomados de NRLMSISE-00. La exósfera sombreada en gris. Como se puede ver, las moléculas más abundantes en la exósfera son atómica del oxígeno, el helio y el hidrógeno. Por lo tanto, es un punto discutible para discutir escapar de las velocidades de molecular de hidrógeno y oxígeno. Por supuesto, la relación de la masa pasa a ser el mismo ya que ambos son moléculas diatómicas (pero tenga en cuenta que una gran parte del hidrógeno atómico en la exósfera se originó a partir de agua en la parte baja de la atmósfera en lugar de a partir de hidrógeno molecular).
También es muy caliente en la exósfera (~1000 K) para realizar los cálculos de las temperaturas de la superficie también es técnicamente incorrecto (aunque de nuevo, puede suceder a dar el mismo resultado cualitativo cuando se comparan dos especies).
Sí, encendedor de moléculas (o átomos) son mucho más propensos a escapar de la atmósfera. El con mucho mayor razón para esto es que ellos son mucho más propensos a alcanzar la velocidad de escape (ver las otras respuestas). Pero otro factor que contribuye es que son mucho más probable llegar a las capas superiores de la atmósfera donde se puede escapar ya de la gravedad de la estratificación, que se inicia ya en la heterosphere. Sin embargo, la mayoría de las especies moleculares se fotoliza en sus constituyentes atómicos por la radiación UV antes de que lleguen a altitudes lo suficientemente alta como para escapar, por lo que es realmente la masa de los átomos de la materia. Otro factor que es muy importante para que las especies de llegar a la parte superior de la atmósfera es de curso procesos químicos en la atmósfera, sino que es todo un capítulo diferente.
