Bijection entre el $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\dots$ $\mathbb{R}$

Question

Hay un bijection entre el $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\dots$ para countably infinidad de $\mathbb{Z}$'s y $\mathbb{R}$? Es decir, es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\dots$, que se repite countably infinitamente muchas veces, incontables?

Answer 1

Primera nota de que, como joriki, comentó que hay muchos innumerables conjuntos que no son del mismo tamaño que el de los números reales. No podría ser innumerables conjuntos que son estrictamente menor que el de los números reales.

Tanto a sus preguntas, sin embargo, la respuesta es sí. Tenga en cuenta que:

$$\mathbb{Z\times Z\times Z\times\dots = Z^N}\\\mathbb{R\times R\times R\times\dots = R^N}$$

Ahora tenemos esto: $$|\mathbb R|=2^{|\mathbb N|}\leq|\mathbb Z|^{|\mathbb N|}\leq|\mathbb R|^{|\mathbb N|}=2^{|\mathbb{N\times N}|}=2^{|\mathbb N|}=|\mathbb R|$$