La comprensión de una específica función de meromorphic que viene de la física estadística problema de investigación

Question

Queridos Matemáticas Stackexchange,

Soy un investigador de física de trabajo en un problema en cuántica, física estadística. Me he encontrado con el siguiente función que no reconozco (tampoco Mathematica):

$$R(z; a,b) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{1+z \, b^k},$$

donde $a$ $b$ son reales los parámetros, $b>1$$0<a<b$.

En la práctica necesito los valores de esta función para $z$ sobre el real positiva semi-eje, pero me gustaría entender mejor lo primero. Tal y como yo lo veo, $R(z; a,b)$ es una función de meromorphic con polos dentro del círculo unidad y una singularidad esencial en a $z=0$.

Puede estar relacionado con algunos conocidos de función especial? Hay maneras más eficientes de cómputo en lugar de a la suma de la definición de la serie directamente? Agradecería cualquier consejo o sugerencia. Contexto físico para que este problema se puede encontrar en la Física SE.

Answer 1

Completar Didier de la solución, la respuesta de $|z|>1$ en términos de $q$-función hipergeométrica es

$$R(z; a,b) = \frac{1}{a-1} \left ( {}_2\phi_1\left [ \begin{matrix} 1/b , \, a \\ a/b \end{matrix} ; 1/b, -1/z \right ] -1 \right ) .$$

Answer 2

Al menos al $|z|>1$, $$R(z,a, b)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{b^{k+1}}{b^{k+1} -}\left(\frac1z\right)^{k+1}.$$ Por lo tanto, $R(\,\cdot\,;a,b)$ puede ser expresado como $q$-función hipergeométrica ${}_2\phi_1$. En el caso especial cuando $a=1$, $R(z;1,b)=-L_1(-b/z,1/b)$ donde $L_1(\,\cdot\, ;q)$ $q$- logaritmo.

Answer 3

Después de acostumbrarse un poco a $q$-función hipergeométrica , he encontrado una manera de volver a organizar la serie de $|a|<1$$z>0$:

Si $b>1$, $$R(z,a, b) =\frac{1}{1}- \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{1+b^{-k} z^{-1}}=\frac{1}{1}- {}_2\phi_1\left [ \begin{matrix} -1/z , \, 1/b \\ -1/(b z) \end{de la matriz} ; 1/b, a \right ] \frac{z}{1+z} .$$

Si $b<1$, $$R(z; a,b) = {}_2\phi_1\left [ \begin{matrix} -z , \, b \\ -b \, z \end{matrix} ; b, a \right ] \frac{1}{1+z} .$$

Esto cubre todos los casos relevantes para el original del problema de física.