Producto de los elementos de un determinado grupo abelian

Question

Supongamos $G=\{a_1,...,a_n\}$ es de un número finito de abelian grupo y deje $x=a_1a_2\dotsm a_n$. Probar que si hay más de un elemento de orden $2$$x=e$.

Lo que he hecho hasta ahora: (#1 es sólo para ilustración, debe haber al menos $3$ tales elementos)

1. $G$ tiene un número par de elementos con el fin de $>2$ (Que están emparejados así: $(a,a^{-1})$ ). Y luego están los $e$$\{b|o(b)=2\}$. También, si $G$ tiene al menos un elemento de orden 2, a continuación, $|G|$ es incluso (Lagrange). Por lo tanto $|\{b|o(b)=2\}|$ debe ser impar.

2. Si hay exactamente un elemento $b$ orden $2$$x=b$. Eso es debido a que $G$ es abelian, y podemos escribir: $x=e\cdot b\cdot(a_1 a_{1}^{-1}\dotsm a_n a_{n}^{-1})=b\cdot(e\dotsm e)=b$.

3. Si hay exactamente $3$ tales elementos $a,b,c\in G$, entonces, como se muestra arriba, $x=abc$ e lo $x=e$ (Que es debido a $(abc)^2=a^2b^2c^2=e$, lo que significa $abc\in \{a,b,c,e\}$. Si $abc=a$ $b=c^{-1}=c$ lo cual es falso, lo mismo va para las $abc=b,abc=c$.)

No he logrado encontrar una razón por la cual la demanda debe mantener para $5, 7, ...$ (es decir, Todos los demás números enteros impares). ¿Alguien tiene una idea?

Gracias de antemano. Por favor, disculpe mi inglés.

edit: No canónica de la respuesta, sino un simple (si aun existe).

Answer 1

Después de la reducción para el caso de primaria, grupo abelian $G$ orden $2^m$ (es decir, todos los no-identidad de los elementos tiene el fin de $2$), podemos terminar la prueba de la siguiente manera: podemos definir a una multiplicación de las $\mathbb{F}_2$ $G$ (donde $\mathbb{F}_2$ es el campo de $2$ elementos) de una manera obvia, y dado que el grupo es de primaria abelian, esto lo convierte en un vectorspace $\mathbb{F}_2$.

Por lo que la demanda ahora es que si $m\geq 2$ a la suma de todos los elementos en un vectorspace es $0$. Para ver esto, nos muestran que si se escribe la suma en el estándar de base, el $i$'th coordinar los es $0$ todos los $i$. Pero el $i$'th de coordenadas de la suma es la suma de las $i$'th coordenadas de todos los posibles vectores, tomado de mod $2$, por lo que solo tenemos que mostrar que para cada una de las $i$ hay un número par de vectores con un $1$ $i$'th de coordenadas. Por otro lado, el número de estos vectores es claramente $2^{m-1}$ como tenemos dos opciones para cada una de las $m-1$ otras coordenadas.

Ya que sólo es necesario para mostrar esto para $m\geq 2$ esto termina la prueba (claramente si $m = 1$ la suma es sólo la única no-vector cero).

Edit: Una alternativa a prueba recientemente he pensado, y que me gusta bastante es la siguiente: tenga en cuenta que el elemento que estamos considerando serán preservados por cualquier automorphism. Pero el automorphism de grupo de primaria, abelian grupo de orden $2^m$ actúa transitivamente sobre la no-identidad de los elementos (para una prueba, a ver, mi respuesta Es un Bijection De un Grupo a Sí mismo Automáticamente un Isomorfismo Si los Mapas de la Identidad a Sí mismo?). Por lo tanto, si $m\geq 2$ el único elemento que puede ser fijado por todos los automorfismos es la identidad, lo cual termina la prueba.

Answer 2

Esta pregunta se ha hecho varias veces en este sitio antes. En algún momento escribí lo que yo creo, es la más elemental posible prueba: ver aquí. Al final de la nota les dejo un reto el cálculo del producto de todos los elementos en el grupo de la unidad de $U(n) = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$. Este cálculo se realiza en la Sección 5 del Apéndice B de esta pre-reserva. Este último también se le da un más rápido, pero menos de primaria, respuesta a la OP de la pregunta.