Pregunta sencilla sobre la asymptotics de los estimadores

Question

Considere la posibilidad de cualquier estimador llama $\hat{M}$ (por ejemplo, coeficiente de regresión estimador o tipo específico de correlación estimador, etc) que satisface la siguiente propiedad asintótica:

$$\boxed{\sqrt{N}(\hat{M}-M) \overset{d}{\to}\mathcal{N}(0,\sigma^2)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$

lo que implica que nuestra $\hat{M}$ es consistente. También tenemos un estimador consistente $\hat{\sigma}$, lo que da lugar a la asintótica de la propiedad:

$$\displaystyle \ \ \boxed{\frac{\sqrt{N}(\hat{M}-M)}{\hat{\sigma}} \overset{d}{\to}\mathcal{N}(0,1)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$

Me pregunto si puedo usar el $z$- o $t$-prueba al igual que lo normal para cualquier dichas $\hat{M}$ que satisface la anterior? Deje $Q$ se define como el estadístico de prueba:

$$\displaystyle \ \ \boxed{Q_\hat{M} = \frac{\hat{M}-M_{H_0}}{\sqrt{\frac{1}{N}\hat{\sigma}^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$

Mi objetivo es hacer la siguiente prueba de hipótesis:

$H_0: M = 0$

$H_a: M \not= 0$

sin embargo, la única información que tengo acceso a la es$(1)$$(2)$, de ahi mi pregunta.

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$$\underline{\text{Update}}$$

El actual respuestas sugieren que no siempre puedo firmeza $z$- o $t$-prueba para cualquier $\hat{M}$. Estoy leyendo las secciones pertinentes de Todas las Estadísticas (Wasserman), así como la Inferencia Estadística (Casella Y Berger). Tanto el estado como las que, si:

$$\displaystyle \ \ \frac{\sqrt{N}(\hat{M}-M)}{\hat{\sigma}} \overset{d}{\to} \mathcal{N}(0,1)$$

• a continuación,"un aproximado de prueba puede estar basado en el de la estadística de wald $Q$ y rechazaría $H_0$ si.f. $Q < -z_{\alpha/2}$ o $Q > z_{\alpha/2}$" (en Casella Y Berger, página 492, "10.3.2 Otra Gran Muestra de Pruebas")

• o, en (Wasserman, en la página 158, Teorema 10.13) "Vamos a $Q = (\hat{M}-M_{H_0})/\hat{se}$ denotar el valor observado de la estadística de Wald $Q$ $\big($donde $\hat{se}$ es obviamente igual a mi $\sqrt{\frac{1}{N}\hat{\sigma}^2}$$\big)$. El valor de p está dada por:

$$p = 2\Phi(-|Q|)$$

Esto se contradice con la existente consejos ya que de no hacerlo el estado de cualquier otro necesario, los supuestos a ser capaz de hacer esto legítimamente (al mejor de mi capacidad de comprensión). Ya sea;

• He logrado comprender las respuestas existentes.
• He dejado de expresar mi pregunta original claramente.
• No he logrado leer estos capítulos correctamente.
• Están excluidos los minuciosidad finalidades pedagógicas.

Agradecería alguna ayuda sobre qué opción es la correcta. Gracias. $\big($Favor de ir fácil soy nuevo en estadísticas :)$\big)$.

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Otra dimensión es que mi intención de la aplicación es $n = 3000$, por lo que quizás la muestra finita problemas son menos relevantes?

Answer 1

Tomando la cuestión en su valor nominal, la respuesta es no. Me ofrecen un contraejemplo donde $\hat{M}$ acerca a su estimand en la distribución, mientras que su varianza se bifurca: en tal caso, el $t$ estadística deben acercarse a cero, casi con toda seguridad, demostrando que se puede tener ni un asintótica Normal o t de distribución.

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Considerar el habitual ajuste Normal donde $\hat{M}$ es un imparcial estimador de la media basado en el $N \ge 2$ iid observaciones de una Normal$(\mu, \sigma^2)$ variable, $(X_1, X_2, \ldots, X_N)$. Deje $\beta$ ser una función de la $N$ a determinar y escribir $\bar{X}$ para la media de la muestra, considerar el estimador de

$$\hat{M}(X_1,\ldots,X_N) = \beta(N)\bar{X}\ \text{ if }\ X_1\ge\max(X_1,\ldots,X_N)\ \text{ else }\ \frac{N-\beta(N)}{N-1}\bar{X}.$$

Debido a que la primera alternativa en la definición de $\hat{M}$ que sucede con la probabilidad de $1/N$ y el segundo con una probabilidad de $(N-1)/N$, se puede calcular que

$$\mathbb{E}(\hat{M}) = \mathbb{E}\left(\frac{1}{N}\beta(N)\bar{X}\ + \frac{N-1}{N}\frac{N-\beta(N)}{N-1}\bar{X}\right) = \mathbb{E}(\bar{X}) = \mu,$$

mostrando que $\hat{M}$ es un estimador imparcial de $\mu$, y (mediante el cálculo de la expectativa de $\hat{M}^2$ y restando el cuadrado de la expectativa de $\hat{M}$),

$$\text{Var}(\hat{M}) = \frac{\sigma^2/N + \mu^2}{N(N-1)^2}\left((N-1)^2\beta(N)^2 + (N-1)\left(N-\beta(N)\right)^2\right) - \mu^2.$$

Si elegimos $\beta(N) = O(N^b)$$\frac{1}{2} \lt b \lt 1$, el lado derecho (que es $O(N^{2b-1})$) van a divergir, sino $\hat{M}$ enfoque de $\mu$ en la distribución (debido a que la mayoría del tiempo $\hat{M}$ será igual a $ \frac{N-\beta(N)}{N-1}\bar{X}$, que se está convirtiendo arbitrariamente cerca de $\bar{X}$).

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En un comentario, StasK ha señalado que este estimador $\hat{M}$ no es canjeable en los argumentos ($X_1$ desempeña un favorecida papel) y le pregunta si que podría ser parte de la causa del "mal" comportamiento asintótico. No lo creo así. Por ejemplo, supongamos $s$ ser la desviación estándar de la muestra y $\bar{X_{\widehat{i}}}$ la media de las variables con $X_i$ excluidos. La distribución de $(Y_i) = (X_i - \bar{X_{\widehat{i}}})/s)$ sólo depende de $N$ (no en $\mu$ o $\sigma$)--es una distribución multivariante con escala de t de Student de las distribuciones marginales--por cada una de las $N$ nosotros existe un número$t_N$, para los que hay un $1/N$ de probabilidad de que $\max(Y_i)\ge t_N$. En la definición de $\hat{M}$, reemplace la condición de $X_1 \ge \max(X_i)$$\max{Y_i}\ge t_N$. Todo funciona exactamente igual que antes, pero esta $\hat{M}$ es invariante bajo las permutaciones de los datos.

Answer 2

Eso es exactamente cómo asintótica resultados están siendo utilizados en la práctica, por ejemplo, en la regresión logística. Yo probablemente el factor que de manera diferente a como

$$\sqrt{N}\frac{\hat{M}-M}\sigma \overset{d}{\to}\mathcal{N}(0,1)$$

la que se muestra el resultado deseado de una manera más inmediata, la OMI (como mptikas se menciona en los comentarios, no es kosher para tener $N$ en el lado derecho de la expresión asintótica). El problema práctico con este curso es que el $\sigma$ es generalmente desconocido, y debe ser estimado. El resultado, y la aplicación, aún si una $\sqrt{N}$-estimador coherente está enchufado en lugar de $\sigma$. En algunas aplicaciones, conseguir que un estimador es una tarea no trivial, como es el caso de decir dependiente de los datos (de series de tiempo, muestreo por conglomerados, de datos espaciales).

Actualización: desde la distribución asintótica es el normal en lugar de Alumno / a, $z$- prueba es más apropiado. En la práctica, $t$-pruebas a menudo se utiliza en lugar de eso, pero viene con los grados de libertad es a menudo un desafío. Además, para la mayoría de la muestra estadística, la muestra finita de la asimetría y los prejuicios son mayores preocupaciones de pesadas colas, y estos, obviamente, no pueden ser corregidos por referencia la estadística de prueba a la $t$-distribución de la normal estándar.