La comprensión de álgebra graduada

Question

Yo soy poco de aprendizaje de Loring W. Tu es Una Introducción a los Colectores el concepto gradual de álgebra, que se utiliza para la introducción de exteriores de álgebra. No entiendo la siguiente definición:

Un álgebra $A$ sobre un campo $K$ dijo ser calificado si puede ser escrita como una suma directa de $A=\bigoplus_{k=0}^{\infty}A^k$ de espacios vectoriales sobre $K$ de manera tal que la multiplicación mapa envía $A^k\times A^l$$A^{k+l}$.

Aquí están las preguntas:

• ¿Qué $k$ $A^k$ significa? Es un superíndice o el poder de la $A$? (Si es que el poder, ¿qué $A^0$ significa?)
• Como yo no sé mucho, pero algunos muy básicos conocimientos en álgebra abstracta, estoy tratando de entender el concepto con algunos ejemplos sencillos. (No entiendo muy bien el artículo de wiki de graduado álgebra). ¿Hay algún ejemplo tan sencillo como el espacio lineal ${\mathbb R}^n$ para el graduado de álgebra? Y ¿a qué se parece concretamente?

Answer 1

1. Es un superíndice.

2. El ejemplo común es el polinomio anillo de $K[x_1, ... x_n]$, que es calificado por el total de la titulación. Es decir, usted puede tomar $A^k$ a ser el subespacio de polinomios homogéneos de grado exactamente $k$. De hecho, este es el graduales $K$-álgebra en $n$ elementos de grado $1$.

La gente que habla de álgebras graduadas a menudo no se molesta en señalar que la especificación de una clasificación es esencialmente la misma cosa como la especificación de una bonita representación del grupo multiplicativo $K^{\times}$ en el álgebra. Un elemento $a \in K^{\times}$ actúa sobre los elementos de grado $k$$x \mapsto a^k x$. El primer axioma de graduado álgebra dice que el álgebra se divide en una suma directa de representaciones irreducibles, y el segundo axioma dice que la acción de la $K^{\times}$ respeta la multiplicación.

Answer 2

La mayoría de los "ordinarios" objeto de que usted ha visto que se clasifica es el polinomio anillo de $\mathbb{F}[x]$ sobre un campo, donde la descomposición se en $\bigoplus_{i=0}^{\infty}x^i\mathbb{F}$. (Es el caso más simple de Qiaochu del Yuan sugerencia).

También quería añadir que lo que una calificación no para usted: si usted tiene dos elementos a partir de los sumandos de grados m y n, decir $3x^n$$-5x^m$, luego de la clasificación dice que es el producto de las tierras: en el $x^{m+n}\mathbb{F}$ sumando. Eso es un poco mejor que la ordinaria de los anillos, porque puede ser difícil predecir donde los productos de la tierra, a veces!

El polinomio ejemplo se ve un poco monótona, pero se pone interesante cuando su calificación es sobre algo distinto de los números naturales. La clasificación también puede ser más de los números enteros, un grupo, e incluso semigroups. Semigroup álgebras son todos naturalmente calificados por sus asociados semigroups. (De hecho, el polinomio anillo es el semigroup álgebra para el semigroup $\{1,x,x^2\dots\}$

El tensor de álgebra de un espacio vectorial es, naturalmente, clasificados por "tipo", y que es probablemente lo que usted está encontrando al leer acerca de los colectores. Supongo que $\mathbb{Z_2}$ clasificados álgebras también están mostrando hasta allí.

Answer 3

Para agregar a Qiaochu la respuesta, a menudo, uno puede "explicar" la existencia de una gradación en un objeto matemático, dando una representación del "círculo" (analíticamente, $S^1$, algebraicamente, el grupo multiplicativo). La idea es que una representación $V$ del círculo de grupo (aquí voy a utilizar la analítica del lenguaje) canónicamente se descompone en modos de Fourier: la irreductible representaciones de $S^1$ son parametrizadas por los caracteres $\chi_k: t \mapsto t^k, S^1 \to \mathbb{C}^*$, y cualquier representación agradable $V$ como se divide $$V = \bigoplus_{k \in \mathbb{Z}} V[k]$$ donde $V[k]$ denota el subespacio de vectores $v \in V$ tal que $S^1$ actúa en $v$ a través del carácter unidimensional $\chi_k$. A la inversa, dada una gradual espacio vectorial $ V = \bigoplus_{k \in \mathbb{Z}} V_k$, uno define un círculo de acción dejando $S^1$ act en el $k$th pieza por $\chi_k$.