Suma de la serie de $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \cdots $

Question

Por favor me ayudan a calcular la suma de la serie: $$\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)+\cdots$$

Answer 1

La serie no converge para todos los $x$. Hay algunos $x$, por ejemplo, $x=0$ o $x=\pi$, para los cuales la serie converge a $0$, sin embargo si tenemos en cuenta $x=\frac \pi 2$ nos encontramos con que nuestra serie es $1+0+-1+0+1+\cdots$ que no converge.

Si usted piensa en el círculo unidad, imagina una línea cuyo ángulo desde el eje x positivo es el valor de $x$. Entonces la coordenada x de este punto en el círculo unitario es el valor de $\sin x $. Doblando el ángulo de los rendimientos de un punto cuya coordenada x es $\sin 2x$. El triplicado de la que se obtiene un punto cuya coordenada x es $\sin 3x$. Continuando con esto, se puede ver que el patrón continuará con diversos valores positivos y negativos, no se acerca a ningún plazo concreto, a menos que la línea que representa un ángulo de $x$ estaba alineado con el polo positivo o negativo del eje x. (Esto no es riguroso, pero puede ser hecho para ser así.)

Más técnicamente, tenemos que $\lim_{n\to\infty} \sin nx =0$ fib $x=k\pi$ algunos $k\in\Bbb Z$, por lo que la serie trivialmente converge a cero para tal $x$ y difiere de todos los otros $x$.

Answer 2

$$2\sin\frac{x}{2}\sin rx=\cos\frac{(2r-1)}{2}x-\cos\frac{(2r+1)}{2}x$$

Poner a $r=1,2,\ldots,n-1,n$ somos,

$$2\sin\frac{x}{2}\sin x=\cos\frac{1}{2}x-\cos\frac{3}{2}x$$

$$2\sin\frac{x}{2}\sin 2x=\cos\frac{3}{2}x-\cos\frac{5}{2}x$$

$$\vdots$$

$$2\sin\frac{x}{2}\sin rx=\cos\frac{(2n-3)}{2}x-\cos\frac{(2n-1)}{2}x$$

$$2\sin\frac{x}{2}\sin nx=\cos\frac{(2n-1)}{2}x-\cos\frac{(2n+1)}{2}x$$

Agregando que tenemos, $2\sin\frac{x}{2}(\sin x+\sin 2x+...+\sin nx)=cos\frac{1}{2}x-\cos\frac{(2n+1)}{2}x=2\sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}$

Por eso, $$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx=\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$$

Como $2\sin B\sin(A+2rB) = \cos(A+(2r-1)B) - \cos(A+(2r+1)B)$, tenemos que multiplicar por$2\sin B$$\sum_{r}\sin(A+2rB)$.

Aquí en este problema, $A=0, 2B=x$

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También la forma de Nerd-Manada ha abordado el problema,

$\sin rx$ = Parte imaginaria de $e^{irx}$

Por eso, $\sum_{0 ≤ r ≤n}\sin rx=\sum_{0 ≤ r ≤n}$(parte Imaginaria de $e^{ix})$=parte Imaginaria de($\sum_{0 ≤ r ≤n}e^{ix}$)

Ahora, $$\sum_{0 ≤ r ≤n}e^{irx}= \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}= e^{\frac{(n+1)ix}{2}}\frac{(e^{\frac{(n+1)ix}{2}}-e^{-\frac{(n+1)ix}{2}})}{e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}})}$$

Sabemos, $\sin y=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$,$e^{iy}-e^{-iy}=2i\sin y$

Por eso,$\sum_{0 ≤ r ≤n}e^{irx}=e^{\frac{inx}{2}}\frac{2i\sin\frac{(n+1)x}{2}}{2i\sin\frac{x}{2}}=(\cos \frac{nx}{2}+i\sin \frac{nx}{2})\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Así, la parte imaginaria de $\sum_{0 ≤ r ≤n}e^{irx}=\sin \frac{nx}{2}\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

$\sum_{0 ≤ r ≤n}\sin{rx}=\sin \frac{nx}{2}\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

$\sum_{1 ≤ r ≤n}\sin{rx}=\sin \frac{nx}{2}\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ $\sin(0x)=0$

Así, la aproximación conduce a un compacto provisto $\sin\frac{x}{2}≠0$

Si $\sin\frac{x}{2}=0$ es decir, $\frac{x}{2}=m\pi$ donde m es un número entero,

$=>x=2m\pi=>\sin sx= 0$ para cualquier entero s.

Mediante la observación si $\sin x=0$ es decir, $x=m\pi$ donde m es un número entero, $\sin sx= 0$ para cualquier entero s.

Entonces la suma es claramente 0 si $x=m\pi$.

Answer 3

El uso de número complejo sistema:

$$\sin{x} = \text{Im} ( {e^{ix} )}$$ y ya,

$$\text{Im} (z_2) + \text{Im} (z_2) = \text{Im} (z_1 + z_2)$$

El uso de este, se obtiene una progresión geométrica. Lo que da el resultado como

$$ \text{Im} (\frac{e^{ix}}{1-e^{ix}})$$

Answer 4

La serie converge, pero no en el sentido habitual si $x$ es real. Si asumimos que el $x$ es real, entonces uno podría estar tentado a escribir $$\sum_{n = 1}^\infty \sin nx \color{red}{=} \textbf{I}\bigg[\sum_{n = 1}^\infty e^{inx}\bigg] \color{red}{=} \textbf{I}\bigg[\frac{e^{ix}}{1 - e^{ix}}\bigg] \color{red}{=} \frac{\sin x}{2(\cos x - 1)}$$ y, del mismo modo, $$\sum_{n = 1}^\infty \cos nx \color{red}{=} \textbf{R}\bigg[\sum_{n = 1}^\infty e^{inx}\bigg] \color{red}{=} \textbf{R}\bigg[\frac{e^{ix}}{1 - e^{ix}}\bigg] \color{red}{=} -\frac{1}{2}.$$

Para encontrar las partes real e imaginaria se multiplica y se divide $e^{ix}/(1 - e^{ix})$ $1 - e^{-ix}$ y utiliza fórmulas de Euler $e^{ix} = \cos x + i\sin x$$e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$.

Pero $|e^{ix}| = 1$ si $x$ es real, por lo $\sum_{n = 1}^\infty e^{inx}$ se bifurca y el $\color{red}{\text{red}}$ igualdades son metafóricas, porque estamos asignando un valor a cada una de las series. El valor de la serie es, en general, diferente de su suma.

Sin embargo, la serie de $\sum_{n = 1}^\infty e^{inx}$ converge si $x$ está en la mitad superior del plano, es decir, $\textbf{I}[x] > 0$, pero esto no ayuda, porque entonces $$\sum_{n = 1}^\infty \sin nx \ne \textbf{I}\bigg[\sum_{n = 1}^\infty e^{inx}\bigg].$$

Answer 5

Allí es mucho más fácil manera de probar que la serie no converge al $x \ne k\pi$.

$\liminf\limits_{n\to\infty}\sin nx=-1$

La correspondiente subsequence es $n_k=-\frac{\pi -4\pi k}{2x}$

$\limsup\limits_{n\to\infty}\sin nx=1$

La correspondiente subsequence es $n_k=\frac{\pi + 4\pi k}{2x}$

Por lo tanto, no hay límite de $\sin nx$ y, por tanto, una condición necesaria de convergencia es violado.