¿Cuál es el teorema de Abel invocado en el contexto de la convergencia de este producto infinito?

Question

Motivación: Como escribí en esta respuesta el siguiente producto se evalúa en la Proposición 5 del artículo de Jean-Paul Allouche y Jeffrey Shallit La ubícua secuencia de Prouhet-Thue-Morse

$$P=\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty }\left( \frac{2n+1}{2n+2}\right) ^{(-1)^{t_{n}}},$$

donde $\left( t_{n}\right) _{n\geq 0}=\left( 0,1,1,0,1,0,0,1,\ldots \right) $ es una secuencia binaria definida recursivamente por $t_{0}=0,t_{2n}=t_{n}$ y $% t_{2n+1}=1-t_{n}$ para $n\geq 0$. Según los autores el producto es "convergente por el teorema de Abel", pero no tengo ni idea de qué teorema es este. Debido a las propiedades de $\left( t_{n}\right) $ los términos de $P$ se pueden dividir en dos grupos de dos términos cada uno (esta idea provino de Ross Millikan). Obtuve:

$$\begin{eqnarray*} P &=&\displaystyle\prod_{m=0}^{\infty }\left( \frac{8m+1}{8m+2}\frac{8m+4}{8m+3}\cdot \frac{8m+6}{8m+5}\frac{8m+7}{8m+8}\right) ^{(-1)^{t_{m}}} \\ &=&\displaystyle\prod_{m=0}^{\infty }\left( 1-\frac{1}{32m^{2}+20m+3}\right) ^{(-1)^{t_{m}}}\displaystyle\prod_{m=0}^{\infty }\left( 1+\frac{1}{32m^{2}+52m+20}% \right) ^{(-1)^{t_{m}}}\text{.} \end{eqnarray*}$$

y me pregunto si esta forma ayuda a probar la convergencia de $P$ de una manera similar a la demostración del $\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty }\left( 1+b_{n}\right) $ (con $b_{n}\rightarrow 0,b_{n}>0$) es convergente si y solo si $\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}$ es convergente.

Pregunta:

A - ¿A cuál teorema de Abel se refieren los autores?

B - Supongamos que tenemos un producto

$$\begin{equation*} P^{\prime }=\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty }\left( 1+b_{n}\right) ^{e_{n}}\qquad (\ast ) \end{equation*},$$ donde [editado] $b_n>0$ es tal que $\displaystyle\sum b_n$ converge [fin de la edición], y $e_{n}$ es una secuencia que toma valores de $-1$ y $+1$.

1. ¿Es $P^{\prime }$ convergente? Creo que sí, ya que si tomo el logaritmo de $P$ obtengo $$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty }e_{n}\ln (1+b_{n}) \end{equation*}$$ y esta serie es absolutamente convergente $$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty }\left\vert e_{n}\ln (1+b_{n})\right\vert \leq \sum_{n=0}^{\infty }\left\vert \ln (1+b_{n})\right\vert \end{equation*}$$ por la prueba de comparación de límites $$\begin{equation*} \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\frac{\ln (1+b_{n})}{b_{n}}=1. \end{equation*}$$
2. ¿Es válido este argumento?
3. Similar para $$\begin{equation*} P^{\prime \prime }=\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty }\left( 1-a_{n}\right) ^{e_{n}},\qquad (\ast \ast ) \end{equation*},$$ donde [editado] $0

Answer 1

Para responder a la pregunta A, esto es (lo que conozco como) el método de Abel (usualmente es para sumas, pero funciona igualmente bien para productos del tipo $\prod_n (z_n)^{s_n}$ para $z_n \in \mathbb{C}^{\times}$ y $s_n \in \mathbb{Z}$, o $z_n > 0$ y $s_n \in \mathbb{C}$, o más generalmente si $z_n \rightarrow 1$ y $s_n$ acotado).

Para sumas, permite por ejemplo probar la convergencia de $\sum_n a_n b_n$ si $\sum_{k=0}^n b_k$ está acotada y $\sum_n |a_{n+1}-a_n| < \infty$. El método de Abel es el homólogo discreto de la integración por partes.

En tu caso, es fácil ver que $S_n = \sum_{k=1}^n s_k$ (donde $s_k = (-1)^{t_k}$) está acotada ($s_{2k}+s_{2k+1}=0$), así que escribimos $s_n = S_n - S_{n-1}$, y calculamos (suponiendo que los $z_n$ son distintos de cero): $$\begin{eqnarray*} \prod_{n=0}^N z_n^{s_n} & = & \prod_{n=0}^N z_n^{S_n-S_{n-1}} \\ & = & \prod_{n=0}^N z_n^{S_n} \prod_{n=0}^{N-1} z_{n+1}^{-S_n} \\ & = & z_N^{S_N} \prod_{n=0}^{N-1} \left( \frac{z_n}{z_{n+1}} \right)^{S_n} \end{eqnarray*}$$ y en tu caso $z_n/z_{n+1} = 1 + O(1/n^2)$, así que este último producto es absolutamente convergente (esto significa que $\sum_n |1-z_n/z_{n+1}| < \infty$, e implica la convergencia del producto por el criterio de Cauchy).