¿Qué son las propiedades, los operadores y de dónde sacamos los números?

Question

Soy una persona muy confusa. Mis profesores de secundaria me decían que la división por 0 es indefinida porque "simplemente lo es. Los matemáticos simplemente lo hicieron así". Así que cuando descubrí de verdad por qué la división por 0 es indefinida, me di cuenta de que todas las cosas básicas que creía haber aprendido no eran de fiar.

Entiendo los axiomas como "algo que nos inventamos para ver qué pasa", los postulados como "cosas que sospechamos que son ciertas, pero que no hemos demostrado", y los teoremas como "cosas que hemos demostrado basándonos en los axiomas que hemos elegido". Muy ordenado, lo entiendo.

Pero no encuentro en ningún lugar de varios libros de texto hasta Calc 1 que describa lo que es una "propiedad". ¿Es un tipo particular de axioma? ¿O es un simple teorema que se acerca a los axiomas? He encontrado información sobre las funciones indicadoras, pero parece que sólo describen propiedades, sin ser las propiedades mismas. ¿Cómo puedo demostrar que $a \times 1 = a$ ?

Relaciones, las entiendo. Mapeos de un conjunto a otro conjunto, basados en reglas de cualquier tipo. Y las funciones son sólo un tipo de relación en la que decimos que cada cosa en el conjunto del dominio sólo puede tener un mapeo al conjunto del rango. Y que los operadores sean funciones que sean relaciones también tiene sentido, excepto que ¿de dónde vienen los operadores? Estoy acostumbrado a que las funciones sean cosas que inventamos para estudiar los polinomios. ¿Pero cómo "inventamos" la suma? Puedo pensar en cualquier número de algoritmos para realizar la suma, y cualquier número de descripciones en inglés sencillo de la suma, pero no podría escribir el lado derecho de $(a, b) = ?$ . Todas las funciones que he visto son sólo composiciones de la suma y los demás operadores. ¿Y por qué los operadores tienen que ser funciones? ¿No podríamos definir la división por 0 simplemente diciendo que la división es una relación pero no una función? Entonces podría simplemente devolver el conjunto de todos los números para $a/0$ .

Y luego los números. Hay una infinidad de ellos, de cualquier tipo que quieras elegir. ¿Cómo? Me imagino que podrías establecer la existencia del 1 como un axioma, pero ¿cómo podrías construir el 2 a partir de él sin usar la adición? ¿Otro axioma? Entonces tendría que haber una infinidad de axiomas, y eso no puede ser factible.

Sí. Soy una persona muy confusa. Espero haber elegido las etiquetas correctas.

Answer 1

Cuántas preguntas "grandes"... Lo intentaré con un par de ellas.

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Para natural números, ver Axiomas de Peano : se asumen dos "nociones" básicas :

• la existencia de un número "inatial "br : $0$

• la existencia de una operación "básica" : la sucesor función $S$ .

El primer hecho está "codificado" por el primer axioma :

$0$ es un número natural.

El segundo hecho se establece por el segundo axioma :

Para cada número natural $n, S(n)$ es un número natural.

Estos dos axiomas "sencillos" son las reglas del "juego de los números": se empieza por el principio y se avanza un paso tras otro, es decir contando .

Partimos de $0$ y aplicar la función de sucesión $S$ a ella, obteniendo un nuevo número : $S(0)$ . Lo llamamos $1$ . A continuación, aplique $S$ a $1$ es decir, a $S(0)$ y obtenemos $2=S(S(0))$ y así sucesivamente...

Para que esta maquinaria básica funcione ad infinitum necesitamos algunos axiomas más; el tercero :

Para todos los números naturales $m, n, \ \ m = n$ si y sólo si $S(m) = S(n)$ .

Queremos que cada número tenga un único sucesor.

Entonces tenemos :

Para cada número natural $n, S(n) \ne 0$ .

Este axioma es necesario para evitar que, después de una cierta "cantidad" de números, nos encontremos con un "bucle" que vuelva a $0$ .

Por último, tenemos el Axioma de inducción .

Con estos axiomas, podemos definir el adición operación.

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En cuanto a la "espinosa" cuestión de la división por $0$ La cuestión es bastante simple.

Definimos sustracción como una operación "derivada" a partir de adición : si $a + b = c$ queremos que $c - b = a$ .

Así, desde $2 + 0 = 2$ , "derivamos" : $2 - 0 = 2$ .

Lo mismo para división con respecto a multiplicación desde : $a \times b = c$ , "derivamos" $c/b=a$ .

Por desgracia, tenemos $a \times 0 = 0$ para cualquier $a$ . Por lo tanto, ¿cuál es el "valor esperado" de $n/0$ ? Debe ser un número $a$ tal que, multiplicado por $0$ devolverá $n$ .

Pero no $a$ cuando se multiplica por $0$ nos devuelve el original $n$ .

Por lo tanto, nos vemos obligados a estar de acuerdo con el incómodo hecho de que : la división por $0$ es indefinido .

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A (binario) relación es una forma de asociar cosas a otras cosas; el mundo está lleno de ellas : " $x$ es el padre de $y$ "define una relación.

La forma en que las matemáticas lo formalizan es :

$Father = \{ (x,y) \mid x \ \ \text {is father of} \ \ y \}$ .

Las funciones son relaciones que satisfacen una condición adicional, la condición de "funcionalidad": para todo $x$ existe como máximo una $y$ tal que ...

Así, "padre de" no es una función, porque un padre puede tener más de un hijo. La relación "hijo de", en cambio, es una función: cada hijo tiene un padre (y no dos).

Un operación es una función, y por tanto una relación. Podemos "describir" el suma como una relación de la siguiente manera :

$Sum = \{ ((n,m),k) \mid k=n+m \}$ .

Por supuesto, esta no es la "receta" para realizar adiciones; ya tenemos que saber cómo añadir $n$ y $m$ pero es una forma de "decidir", para cualquier triple $n,m,k$ si satisface la relación o no, porque :

$((n,m),k) \in Sum$ si $k=n+m$ .

Así, por ejemplo $((2,3),5) \in Sum$ , mientras que $((1,1),1) \notin Sum$ .

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En el "parlamento" matemático, un propiedad es algo expresado por un teorema sobre un objeto o una colección de objetos.

Considere por ejemplo Geometría euclidiana es una teoría sobre objetos (los "geométricos") como puntos, líneas, círculos, triángulos, ...

Si consideramos el Teorema de Pitágoras , afirma que :

la suma de las áreas de los dos cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa.

Este teorema afirma que los triángulos rectos tienen la propiedad que : "la suma de las áreas de los dos cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado de la hipotenusa".

Answer 2

Probablemente sería mejor hacer varias preguntas a la vez, en lugar de un paquete como este. Sin embargo, hay una respuesta bastante común, por así decirlo, detrás de todas ellas, y es la teoría de conjuntos. Si se considera que las matemáticas se desarrollan dentro de una teoría de conjuntos axiomática (como $\mathsf{ZFC}$ ), al menos algunas de sus preguntas recibirán probablemente algún tipo de respuesta. A continuación esbozo un poco de esto.

Pero primero, para empezar, hay que tener en cuenta que tener infinitos axiomas no es un problema. $\mathsf{ZFC}$ en su formulación típica, tiene infinitos axiomas (que no son reducibles a finitos), y es perfectamente viable. El truco no es tener un número finito de axiomas, sino tener un conjunto recursivo de axiomas, es decir, un conjunto de axiomas tal que haya un algoritmo que te diga si una fórmula dada es o no un axioma de la teoría. En otras palabras, mientras puedas decidir para una fórmula dada si es o no un axioma de la teoría, no importa mucho (en términos de viabilidad) si tienes finitos o infinitos axiomas.

Teniendo en cuenta esto, es posible utilizar recursos de teoría de conjuntos, y un poco de lógica, para responder a tus preguntas. En concreto, la mayoría de los objetos sobre los que preguntas (como funciones, relaciones, propiedades y números) se considerarán (o representarán) como conjuntos. Así, las relaciones serán simplemente conjuntos de secuencias de objetos ( $n$ -(si sólo se consideran las relaciones finitas), de modo que la relación "ser el padre de" y "ser el progenitor masculino de" denotarán en realidad la misma relación (es decir, el conjunto de todos los pares tales que la primera coordenada del par es el padre de la segunda coordenada). Las funciones serán un tipo especial de relación, es decir, una relación en la que es imposible que dos secuencias de la relación difieran sólo en su última coordenada. En cuanto a las propiedades, serán sólo subconjuntos de un dominio dado.

Si la última definición le parece extraña, la idea básica es la siguiente: las propiedades se consideran generalmente relaciones monádicas. En términos de lógica, esto significa que las propiedades se definen mediante predicados que toman un solo argumento. De ello se desprende que (casi) todo predicado de este tipo determina un conjunto correspondiente, a saber, el conjunto de cosas que lo satisfacen (también llamado extensión del predicado). Por ejemplo, la propiedad "ser un animal racional" determina el conjunto de todos los humanos, la propiedad "ser par" determina el conjunto de todos los números pares, etc. Por supuesto, no todas estas propiedades son interesantes desde el punto de vista matemático; las interesantes suelen ser las que podemos codificar de algún modo en una fórmula de algún lenguaje formal, como la lógica de primer orden o de orden superior. Obsérvese que una propiedad no es un teorema, ni necesita estar cerca de uno: se puede tener la propiedad contradictoria definida como $x \not = x$ por ejemplo. La cercanía puede deberse a que suele ser un teorema que un determinado conjunto tiene una determinada propiedad (así, es un teorema de la teoría de conjuntos que el conjunto de todos los números pares tiene la propiedad de ser equinumérico al conjunto de todos los números naturales).

Obsérvese que, bajo la concepción anterior, la existencia de una función o relación no depende de que haya una descripción de esta función o relación (aunque, normalmente, tomamos las propiedades como especificables mediante fórmulas. Hay un número incontable de funciones desde los números naturales hasta $\{0, 1\}$ pero sólo un número contable de funciones computables. Así que la gran mayoría de estas funciones no son definibles algorítmicamente. La razón por la que la mayoría de las funciones que has visto se definen en términos de adición y otras cosas es que la clase de tales funciones es muy interesante: es la clase de las funciones recursivas, que generalmente se considera la clase de las funciones computables (por cierto, la adición en sí misma puede definirse utilizando la recursión primitiva y la función sucesora de forma muy aproximada, $+(0,x) = x$ y $+(n+1, x) = S(+(n, x))$ ). Pero hay muchos casos en los que podemos estar interesados en funciones arbitrarias, y la teoría de conjuntos nos proporciona una forma de tratarlas.

En cuanto a definir una operación como una relación, no es muy conveniente, ya que significaría que una aplicación de la operación a una secuencia podría producir muchos resultados diferentes. Por ejemplo, si la suma fuera una relación, en lugar de una función, no podríamos escribir cosas como $a+b=c$ ya que podría darse el caso de que hubiera otro número, digamos $d$ diferente de $c$ , de tal manera que $a+b=d$ también, de donde $c=d$ , en contra de la hipótesis de que fueran distintos. Por comodidad, es mejor tomarlas como funciones y lidiar con los pocos casos patológicos que eventualmente aparecen (como la división por cero), que renunciar a la bonita propiedad que tiene ser una función.

En cuanto a los números, como he mencionado anteriormente, también los tomamos generalmente como conjuntos. En el caso de los números naturales, generalmente los interpretamos como ordinales de von Neumann: $\varnothing = 0$ y, si $x$ es un número natural, entonces también lo es $x \cup \{x\}$ que se llama el sucesor de $x$ . Así que cada número es el conjunto de sus predecesores. Sin entrar en muchos detalles, es posible demostrar que existe una propiedad que obliga a que un conjunto sea infinito (es decir, si un conjunto contiene $0$ y es cerrado bajo la función sucesora, es decir, si $x$ está en el conjunto, también lo está su sucesor). Podemos entonces postular como axioma que existe un conjunto que satisface esa propiedad y tomar el conjunto de todos los números naturales como el más pequeño de tales conjuntos. Así que no necesitamos usar infinitos axiomas para obtener infinitos números (se pueden obtener otros tipos de números tomando conjuntos de números naturales como representantes, por ejemplo, los enteros se definen como pares de números naturales tales que la primera coordenada es siempre $0$ o $1$ la idea es que $0$ los códigos son negativos y $1$ los códigos son positivos).

Si la introducción de un axioma para deducir la infinidad de los números naturales le parece tramposa, le gustará saber que es posible deducir esta proposición, y muchas más, (incluidas las propiedades básicas de la función sucesora y el principio de inducción) a partir de la lógica de segundo orden más un principio muy simple, llamado "Principio de Hume": el número de Fs es el mismo que el número de Gs si existe una correspondencia uno a uno entre los Fs y los Gs. Este sorprendente resultado se conoce como Teorema de Frege y puede ser de su interés.

Answer 3

Formalmente Los axiomas son arbitrarios (aparte de que no pueden contradecirse ni a sí mismos ni a los demás). Sin embargo, en realidad los axiomas se eligen para que sean útiles.

Por ejemplo, los números naturales están definidos por los axiomas de Peano. Pero los axiomas de Peano no son arbitrarios, sino que codifican el acto de contar.

Supongamos que quieres contar tus canicas. Pues bien, antes de empezar con el procedimiento de recuento, todavía no has contado ninguna canica. Ahora puede resultar que descubras que en realidad no tienes ninguna canica, en cuyo caso tu conteo tiene que dar como resultado ese mismo hecho. Por lo tanto, tiene que haber un número que diga "no hay canicas" (o en general, ninguno de los objetos que quieras contar). Este número se llama cero. Por lo tanto, tenemos el primer axioma de Peano:

$0$ es un número natural.

Bien, entonces descubres que tienes algunas canicas, así que tienes que seguir contando las canicas. ¿Cómo se cuentan las canicas? Bueno, coges una canica cada vez, y para cada una de ellas, dices un número. Pero no un número arbitrario, sino siempre el siguiente número después del que has dicho anteriormente. Y es obvio que sólo puede haber un número siguiente, no varios a elegir. Después del "uno" el siguiente número es siempre y sin excepción el "dos".

¿Pero qué pasa si al final te quedas sin números? Bueno, por supuesto que nunca se quede sin números, porque puede simplemente "inventar" otro número si llega al final de los números que ya conoce, simplemente diciendo "esto es el siguiente número después de esa. Así llegamos al segundo axioma de Peano:

Todo número natural $n$ tiene un único número natural como sucesor $S(n)$ .

Tenga en cuenta que "sucesor" es sólo una forma elegante de decir "número siguiente", y $S(n)$ no es más que una forma abreviada de escribir "sucesor de $n$ ".

Pero eso no es todo: Al contar, puedes hacer las cosas mal. Imagina que cuentas así: "uno dos tres cuatro uno " Está claro que eso no funciona bien. Cuando cuentas, no puedes repetir un número que ya has utilizado, al igual que no puedes volver a contar una canica que ya has contado.

Pero, ¿cuáles son los números que ya has utilizado? Pues bien, uno de los números es aquel con el que empezaste, el cero. Por lo tanto, el siguiente axioma de Peano afirma que nunca se vuelve a cero:

$0$ no es el sucesor de ningún número natural.

Pero no sólo se puede repetir el cero, sino que tampoco se puede repetir ningún otro número. Pero, ¿cómo podemos especificar otro número arbitrario? Bueno, cualquier número que no sea $0$ que utilizamos era el sucesor de otro número. Así que para evitar volver a cualquier otro número ya utilizado, obtenemos el cuarto axioma de Peano:

Los sucesores de los distintos números son diferentes: Si $n\ne m$ entonces $S(m)\ne S(n)$ .

Bien, ahora sólo queda una pregunta: Si seguimos contando, ¿llegaremos finalmente a cualquier ¿o hay números naturales que nunca podemos alcanzar contando? Bueno, el punto de nuestra definición es que los números naturales son los números que usamos para contar. Por tanto, si empezamos por el cero y seguimos contando, entonces sí que llegaremos a todos los números naturales, porque eso es lo que media por "número natural". Así obtenemos el quinto y último axioma de Peano:

Cualquier conjunto que contenga $0$ y para cada contenido $n$ también contiene su sucesor $S(n)$ contiene todos los números naturales.

Del mismo modo, la suma y la multiplicación se definen para que coincidan con las operaciones correspondientes del mundo real.

Ahora bien, ¿cómo sabemos que lo hemos hecho "bien"? Pues bien, utilizamos los números que hemos definido así en muchas situaciones de la vida real, y resulta que son útiles. Y siempre que algo que ocurra en el mundo real coincida con esos axiomas (como, por ejemplo, tus canicas, pero no necesariamente las gotas de agua -si añades una gota a otra gota, puedes obtener una gota más grande-) también sabemos que cualquier cosa que demostremos basada en esos axiomas también funcionará para esos objetos del mundo real (por ejemplo, porque encontramos que $5$ no es un múltiplo de $3$ También sabes que no puedes repartir equitativamente tus cinco canicas entre tres personas).

Answer 4

Pero, ¿cómo podemos "inventar" la suma? Puedo pensar en cualquier número de algoritmos para realizar la suma, y cualquier número de descripciones en inglés sencillo de la suma, pero no podría escribir el lado derecho de $(a, b) = ?$ .

Es complicado.

Puedes empezar con los Axiomas de Peano que definen los números naturales. Esta es la versión que encuentro más útil.

Definimos $\mathbb{N}, S, 0$ tal que:

1. $0\in \mathbb{N}$

2. $S$ es una función que asigna $\mathbb{N}$ a sí mismo (el llamado función de sucesión )

3. $S$ es inyectiva.

4. Para todos $x\in \mathbb{N}$ tenemos $S(x)\ne 0$

5. Para todos los subconjuntos $P$ de $\mathbb{N}$ Si $0\in P$ y para todos $x\in P$ También tenemos $S(x)\in P$ entonces $P=\mathbb{N}$

Entonces, utilizando las reglas y axiomas de la lógica y la teoría de conjuntos, podemos demostrar realmente (con cierta dificultad) la existencia de una función de adición única $+$ tal que:

1. Para todos $x,y\in \mathbb{N}$ tenemos $x+y\in \mathbb{N}$
2. Para todos $x\in \mathbb{N}$ tenemos $x+1=S(x)$ .
3. Para todos $x,y\in \mathbb{N}$ tenemos $x+S(y)=S(x+y)$

Entonces podemos demostrar (también con cierta dificultad) las propiedades algebraicas habituales de la adición: asociatividad, conmutatividad y cancelabilidad.

El desarrollo anterior en todo su detalle requeriría cientos de líneas de prueba formal. Por razones obvias, la mayoría de los autores no se molestan en un desarrollo tan detallado, y se limitan a "definir" la suma como se ha dicho. Algunos simplemente incluyen la suma y la multiplicación en su definición de los números naturales. Así que tendrás que perdonar a tus profesores de instituto si no pararon la clase para explicar todo esto.

No quiero desanimar sus preguntas. Sólo ten en cuenta que una explicación completa de algunas preguntas puede estar "más allá del alcance" del libro de texto o del curso.