Método más rápido para dibujar polígonos regulares construible

Question

Sabemos de Gauss, que los polígonos regulares de la orden de $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $15$, $16$, $17$, $20$, $24\ldots$ son construibles.

• Hay un modo demostrable de más rápido compás y una regla método para crear cada uno de los (o algunos) de los polígonos?

• Si es así, es el mínimo número de pasos (los arcos y las líneas dibujadas) un conocido en función del número de lados?

Para fines de ilustración, una imagen de una construcción de la 17-gon de Wikipedia, diferente de Gauss de la construcción original.

$\quad\quad\quad\quad$

Answer 1

Sugerencia:

Si usted comienza a partir de dos puntos dados y sólo se permiten dibujar una línea recta a partir de dos puntos conocidos o de un círculo centrado en un punto conocido y a través de otro, puede esbozar todas las posibles construcciones.

Con una sola línea:

Con dos líneas (se obtiene el triángulo equilátero):

Con tres líneas:

Con cuatro líneas (se obtiene el hexágono):

El quinto de la construcción con cuatro líneas muestra cómo lograr el cuadrado en cinco líneas (con un extra de círculo).

Suponemos que permite dibujar a través de los puntos desconocidos no reduciría el número mínimo de líneas. Por desgracia, esta fuerza bruta enfoque muy rápidamente se convierte en impracticable.

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Actualización:

Hay una falta de operación: medir la distancia entre dos puntos conocidos con el compás y dibuje un círculo con esta radio alrededor de un tercio de punto.

También, muchas de las construcciones con círculos más grandes que faltan.

Answer 2

Sólo para conseguir el balanceo de la bola, aquí está una de cinco pasos de la construcción de un cuadrado a partir de dos puntos, que puede o no puede ser mínima. (En los comentarios debajo de la OP, me dio dos pasos para la construcción de un triángulo equilátero, que me atrevería a decir que no puede ser construido en un solo paso.)

Comenzando con los puntos de $P$$Q$,

1. Dibujar el círculo centrado en $P$ pasando a través de $Q$.
2. Dibujar el círculo centrado en $Q$ pasando a través de $P$. Estos dos círculos se cortan en dos puntos de $R$$S$.
3. Dibujar la línea a través de$P$$Q$.
4. Dibujar la línea a través de$R$$S$. Estas dos líneas son perpendiculares que se intersecan en un punto de $O$.
5. Dibuje un círculo de radio arbitrario centrado en $O$. Sus intersecciones con las líneas de los Pasos 3 y 4 son los vértices de un cuadrado.

Lo que falta aquí, por supuesto, es la prueba de que cinco es mínima. Espero que alguien va a publicar una respuesta dar una prueba (o, mejor aún, una construcción que tiene menos pasos.)

Añadido posterior: Sólo para mantener el balanceo de la bola (y/o consumir algún suplemento fruta madura), he aquí una de cuatro pasos para la construcción del hexágono:

Comenzando con los puntos de $O$$P$,

1. Dibujar el círculo centrado en $O$ pasando a través de $P$.
2. Dibujar el círculo centrado en $P$ pasando a través de $O$. Estos dos círculos se cortan en dos puntos de $A$$D$.
3. Dibujar la línea a través de$O$$P$. La intersección con el círculo del Paso 1 en un punto de $Q$.
4. Dibujar el círculo centrado en $Q$ pasando a través de $O$. La intersección con el círculo del Paso 1 en dos puntos $B$$C$. Los puntos de $P,A,B,Q,C,D$ son vértices de un hexágono.

Creo que este es "obviamente" mínimo. Pero creo que tenemos algunas reglas explícitas de lo que constituye una construcción con el fin de demostrar que es obvio....

Answer 3

Sólo para añadir una observación simple (no respuesta):

Círculos pueden intersectar dos veces, mientras que las líneas pueden intersectar una o dos veces, el número máximo de cruces está dado por dos veces el número de pares de círculos. Por otra parte, para un $n$-gon, claramente al menos $n$ intersecciones son necesarios. Por lo tanto, un límite inferior muy flojo está dada por: %#% $ de #% que significaría el número de pasos asintomáticamente está limitado por debajo por $$C^2-C > n$.

Answer 4

Sólo para mantener la pelota rodando, aquí está una manera rápida de dibujar el pentágono regular.

Empezar con un círculo, un centro de $O$, y trazan dos diámetros perpendiculares entre sí $AB$$CD$.

Encontrar el punto medio de la $OD$ y llamar a $E$.

Dibujar la línea de $BE$ extendido, y biseca el ángulo de $BEO$ tanto interna como externamente.

Estas bisectrices satisfacer $AB$$X$$Y$. Construcción de líneas perpendiculares a $AB$ a través de$X$$Y$.

Estos perpendicular cumplir con el círculo en cuatro puntos, que, junto con el $B$, la forma de un pentágono regular.

No estoy seguro de cuántos pasos esto es de acuerdo a sus reglas, pero me interesaría saber si hay una forma más rápida. Yo lo dudo.