principal problema de valor propio infinito matriz

Question

Estoy tratando de encontrar la autovalor correspondiente a la izquierda y a la derecha los vectores propios de la siguiente infinita de la matriz, para $\lambda>0$:

$$ \mathrm{A}=\left( \begin{array}{cccccc} 1 &e^{-\lambda} & 0 &0 &0 & \dots\\ 1 &e^{-\lambda} & e^{-2\lambda} &0 &0 & \dots\\ 1 &e^{-\lambda} & e^{-2\lambda} &e^{-3\lambda} &0 & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots \end{array} \right) $$

Tenga en cuenta que hay condiciones por encima de la diagonal principal.

Sé que en general infinito matrices no son realmente una auto-consistente idea, pero de hacerlo numéricamente con $n\times n$ matrices utilizando el poder de la iteración parece que el problema converge en el límite de lo infinito $n$. La convergencia es más lenta para los más pequeños valores de $\lambda$, pero parece que probablemente converge para todos los $\lambda>0$.

Tenga en cuenta que sólo me importa acerca de los principales autovalor, es decir, el de mayor magnitud, que debe ser real y positivo. Sus correspondientes vectores propios sólo debe tener una positiva entradas, debido a la Perron-Frobenius teorema.

Alternativamente, si es más fácil, una solución para la siguiente matriz será igual de útil para mí: $$ \mathrm{B}=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1& 0 &0 &0 & \dots\\ e^{-\lambda} &e^{-\lambda} & e^{-\lambda} &0 &0 & \dots\\ e^{-2\lambda} & e^{-2\lambda} &e^{-2\lambda} &e^{-2\lambda} &0 & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots \end{array} \right) $$

De nuevo, tenga en cuenta los términos por encima de la diagonal. (Los dos problemas no son equivalentes, es sólo que uno de ellos me va a ayudar a resolver un problema más grande.)

El problema es que no tengo mucha idea de cómo hacer esto. He probado una gran variedad de ingenuo métodos, a lo largo de las líneas de la escritura de la ecuación $\mathrm{A}\mathbf{x} = \eta \mathbf{x}$ como un sistema de ecuaciones que involucran sumas infinitas y, a continuación, tratando de encontrar a $\{x_i >0\}$ $\eta>0$ a satisfacerlos, pero esto no parece producir en cualquier lugar agradable.

Podría ser que no hay solución analítica. O incluso peor podría ser que estas matrices tienen unbounded espectros después de todo (en cuyo caso me gustaría saber!), pero si alguien tiene alguna idea de cómo resolver uno de estos dos problemas realmente lo apreciaría.

Answer 1

(No hay promesas de aquí, porque no he trabajado el álgebra a través de todo el camino, pero...)

Trate de escribir la ecuación de matriz $A\mathbf{x}= \mu \mathbf{x}$, y luego busca en el individuo ecuaciones da;

$$ x_1 + e^{-\lambda}x_2 = \mu x_1 \\ x_1 + e^{-\lambda}x_2 + e^{-2 \lambda}x_3 = \mu x_2 \\x_1 + e^{-\lambda}x_2 + e^{-2 \lambda}x_3 + e^{-3 \lambda}x_4 = \mu x_3 $$ etcétera.

Aviso que puede sustituir ecuaciones anteriores en cada uno de ellos para conseguir que para cada $i \geq 1$, $$\mu x_i + e^{-(i+1)\lambda}x_{i+2} = \mu x_{i+1} \\ \Rightarrow \mu (x_{i+1} - x_i) = e^{-(i+1)\lambda}x_{i+2} $$

Usted puede entonces resolver la relación de recurrencia de manera similar a la ecuación diferencial, por el hallazgo de dos distintas (ni una constante en varias de las otras soluciones, que da la solución general de cualquier combinación lineal de estos.

A continuación, sustituir la solución general en la primera ecuación y ver si usted puede hacer que sea coherente con eso.

Encontrar la solución general de la recurrencia puede ser difícil aún a pesar de que el $e^{-(i+1)\lambda}$ significa que el $x_i = k^i$ truco no funciona. No estoy realmente seguro si hay una solución de una forma diferente, o si en realidad se puede demostrar que no existe ninguna solución - en cuyo caso, se seguiría que $A$ no tiene autovalores.

Lo siento si esto es lo que he intentado, pero usted ha mencionado infinitas sumas de dinero, y esto por lo menos no los involucran.